718: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）である

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グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、任意のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を任意の要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
$G^{\prime }/G$: $=G^{\prime }\text{ の }G\text{ によるクオシエント（商）グループ（群） }$
$f$: $:G^{\prime }/G\to G^{\prime }$, $\in \{G^{\prime }/G\text{ に対する全てのレプリゼンタティブ（代表）たちマップ（写像）たち }\}$
$\overline{G^{\prime }/G-f}$: $=\text{ 当該レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合） }$
$p$: $\in G^{\prime }$
//

ステートメント（言明）たち:
$p\overline{G^{\prime }/G-f}\in \{\text{ 全てのレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）たち }\}$
$\wedge$
$\overline{G^{\prime }/G-f}p\in \{\text{ 全てのレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G^{\prime }$、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）$G\subseteq G^{\prime }$、当該クウォシェント（商）グループ（群）$G^{\prime }/G$、任意のレプリゼンタティブ（代表）たちマップ（写像）$f:G^{\prime }/G\to G^{\prime }$、対応するレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）$\overline{G^{\prime }/G-f}$、任意の要素$p\in G^{\prime }$に対して、$p\overline{G^{\prime }/G-f}$または$\overline{G^{\prime }/G-f}p$はレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $\overline{G^{\prime }/G-f}$を$\{p_{\alpha }|\alpha \in A\}$として、$G^{\prime }/G$を$\{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$として表わし、$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$および$\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$を定義する; ステップ2: $\{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$の各要素に対して、$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$内にある対応する要素があることを見る; ステップ3: $\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$内に重複はないことを見る; ステップ4: $\{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$の各要素に対して、$\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$内にある対応する要素があることを見る; ステップ5: $\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$内に重複はないことを見る。

これ以降、各$p\in G^{\prime }$に対して、$pG=Gp$である、その理由は、ノーマルサブグループ（正規部分群）の定義は$pG{p}^{-1}=G$を含意し、それは、$pG=pG{p}^{-1}p=Gp$を含意すること、という事実を頻繁に利用する。

ステップ1:

$\overline{G^{\prime }/G-f}$を$\{p_{\alpha }|\alpha \in A\}$、あるアンカウンタブル（不可算）かもしれないあるインデックスセット（集合）$A$に対して、として表わそう。

$G^{\prime }/G=\{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$。

$p\overline{G^{\prime }/G-f}=\{p{p}_{\alpha }|\alpha \in A\}$および$\overline{G^{\prime }/G-f}p=\{p_{\alpha }p|\alpha \in A\}$。それらは重複を持たない、なぜなら、$p{p}_{\alpha }=p{p}_{\beta }$または$p_{\alpha }p=p_{\beta }p$は$p_{\alpha }=p_{\beta }$を含意し、それは、$\alpha =\beta$を含意する。

$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$および$\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$を定義しよう。

もしも、$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$および$\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$は重複を持たず、$G^{\prime }/G=\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}=\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$であれば、本命題は真である。したがって、それを証明しよう。

ステップ2:

各$p_{\beta }G\in \{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$に対して、以下を満たすある$p{p}_{\gamma }G\in \{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$、つまり、$p_{\beta }G=p{p}_{\gamma }G$、を見つけよう。

$p^{-1}{p}_{\beta }\in p_{\gamma }G$、ある$\gamma$に対して。それが意味するのは、$p^{-1}{p}_{\beta }=p_{\gamma }{p}^{\prime }$、ある$p^{\prime }\in G$に対して。したがって、$p_{\gamma }=p^{-1}{p}_{\beta }{p^{\prime }}^{-1}$。すると、$p{p}_{\gamma }G=p{p}^{-1}{p}_{\beta }{p^{\prime }}^{-1}G=p_{\beta }{p^{\prime }}^{-1}G=p_{\beta }G$、なぜなら、${p^{\prime }}^{-1}\in G$。

それが意味するのは、$G^{\prime }/G\subseteq \{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$、そして、$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}\subseteq G^{\prime }/G$は明らかであるから、$G^{\prime }/G=\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$。

ステップ3:

$\{p{p}_{\alpha }G|\alpha \in A\}$内に重複はないことを見よう。

$\alpha \ne \beta$および$p{p}_{\alpha }G=p{p}_{\beta }G$であったと仮定しよう。それが意味することになるのは、$p_{\alpha }\ne p_{\beta }$および$p_{\alpha }G\ne p_{\beta }G$。

$p_{\alpha }G=p^{-1}p{p}_{\alpha }G=p^{-1}p{p}_{\beta }G=p_{\beta }G$、矛盾。

ステップ4:

各$p_{\beta }G\in \{p_{\alpha }G|\alpha \in A\}$に対して、以下を満たすある$p_{\gamma }pG\in \{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$、つまり、$p_{\beta }G=p_{\gamma }pG$、を見つけよう。

$p_{\beta }{p}^{-1}\in p_{\gamma }G=G{p}_{\gamma }$、ある$\gamma$に対して。それが意味するのは、$p_{\beta }{p}^{-1}=p^{\prime }{p}_{\gamma }$、ある$p^{\prime }\in G$に対して。したがって、$p_{\gamma }={p^{\prime }}^{-1}{p}_{\beta }{p}^{-1}$。すると、$p_{\gamma }pG={p^{\prime }}^{-1}{p}_{\beta }{p}^{-1}pG=({p^{\prime }}^{-1}{p}_{\beta })G=G({p^{\prime }}^{-1}{p}_{\beta })=(G{p^{\prime }}^{-1})p_{\beta }=G{p}_{\beta }$、なぜなら、${p^{\prime }}^{-1}\in G$、$=p_{\beta }G$。

ステップ5:

$\{p_{\alpha }pG|\alpha \in A\}$内に重複はないことを見よう。

$\alpha \ne \beta$および$p_{\alpha }pG=p_{\beta }pG$であったと仮定しよう。それが意味することになるのは、$p_{\alpha }\ne p_{\beta }$および$p_{\alpha }G\ne p_{\beta }G$。

$p_{\alpha }G=G{p}_{\alpha }=G(p_{\alpha }p)p^{-1}=(p_{\alpha }pG)p^{-1}=(p_{\beta }pG)p^{-1}=((p_{\beta }p)G)p^{-1}=G{p}_{\beta }p{p}^{-1}=G{p}_{\beta }=p_{\beta }G$、矛盾。

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参考資料

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