735: セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）である

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セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）のパワーセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）および任意のセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$Pow(S^{\prime }\setminus S)=Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）$S^{\prime }$、任意のセット（集合）$S$に対して、$Pow(S^{\prime }\setminus S)=Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$。

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3: 注

タイトルやターゲットコンテキスト内の"[ ]"マークたちは曖昧性を取り除くためのものである: 例えば、'前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）のパワーセット（集合）'は曖昧である、はたしてそれが"[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）"なのか'前者セット（集合）マイナス[後者セット（集合）のパワーセット（集合）]'なのか。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: $Pow(S^{\prime }\setminus S)$の各要素は$Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$内に包含されていることを見る; ステップ2: $Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$の各要素は$Pow(S^{\prime }\setminus S)$内に包含されることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$S^{″}\in Pow(S^{\prime }\setminus S)$は任意のものであるとしよう。

それが意味するのは、$S^{″}$は$S^{\prime }\setminus S$のサブセット（部分集合）であるということ。したがって、以下を満たすあるフォーミュラ$\varphi$、つまり、$S^{″}=\{p\in S^{\prime }\setminus S|\varphi (p)\}$がある。

$Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S=\{p\in Pow(\cup Pow(S^{\prime }))|\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in Pow(S^{\prime })(p=p^{\prime }\setminus S)\}$、セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義によって。$\cup Pow(S^{\prime })=S^{\prime }$である、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題によって、から、$Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S=\{p\in Pow{S}^{\prime }|\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in Pow(S^{\prime })(p=p^{\prime }\setminus S)\}$。

$S^{″}\in Pow{S}^{\prime }$、なぜなら、$S^{″}=\{p\in S^{\prime }|p\in S^{\prime }\setminus S\wedge \varphi (p)\}$、なぜなら、各$p^{\prime }\in S^{″}$に対して、$p^{\prime }\in S^{\prime }$、$p^{\prime }\in S^{\prime }\setminus S$、そして、$\varphi (p)$; 各$p^{\prime }\in \{p\in S^{\prime }|p\in S^{\prime }\setminus S\wedge \varphi (p)\}$に対して、$p^{\prime }\in S^{\prime }\setminus S$および$\varphi (p)$、それが意味するのは、$p^{\prime }\in S^{″}$。$\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in Pow(S^{\prime })(S^{″}=p^{\prime }\setminus S)$、なぜなら、$p^{\prime }=S^{″}$でよい。

したがって、$S^{″}\in Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$。したがって、$Pow(S^{\prime }\setminus S)\subseteq Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$。

ステップ2:

$S^{″}\in Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$は任意のものとしよう。

$S^{″}$は$S^{\prime }\setminus S$のサブセット（部分集合）であるか？

以下を満たすある$p^{\prime }\in Pow(S^{\prime })$、つまり、$S^{″}=p^{\prime }\setminus S$、がある。$p^{\prime }$は$S^{\prime }$のサブセット（部分集合）であるから、以下を満たすあるフォーミュラ$\varphi$、つまり、$p^{\prime }=\{p\in S^{\prime }|\varphi (p)\}$、がある。$S^{″}=p^{\prime }\setminus S$であるから、$S^{″}=\{p\in S^{\prime }|\varphi (p)\wedge p\in S^{\prime }\setminus S\}$。しかし、それは、$S^{″}=\{p\in S^{\prime }\setminus S|\varphi (p)\}$に等しい、なぜなら、各$p^{″}\in \{p\in S^{\prime }|\varphi (p)\wedge p\in S^{\prime }\setminus S\}$に対して、$p^{″}\in S^{\prime }\setminus S$および$\varphi (p)$; 各$p^{″}\in \{p\in S^{\prime }\setminus S|\varphi (p)\}$に対して、$p^{″}\in S^{\prime }$、$\varphi (p)$、$p^{″}\in S^{\prime }\setminus S$。

したがって、$S^{″}$は$S^{\prime }\setminus S$のサブセット（部分集合）である。

したがって、$S^{″}\in Pow(S^{\prime }\setminus S)$。したがって、$Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S\subseteq Pow(S^{\prime }\setminus S)$。

ステップ3:

したがって、$Pow(S^{\prime }\setminus S)=Pow(S^{\prime }){\setminus }_{e}S$。

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参考資料

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