セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）のパワーセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および任意のセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Pow (S' \setminus S) = Pow (S') \setminus_e S\)
//
2: 自然言語記述
任意のセット（集合）\(S'\)、任意のセット（集合）\(S\)に対して、\(Pow (S' \setminus S) = Pow (S') \setminus_e S\)。
3: 注
タイトルやターゲットコンテキスト内の"[ ]"マークたちは曖昧性を取り除くためのものである: 例えば、'前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）のパワーセット（集合）'は曖昧である、はたしてそれが"[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）"なのか'前者セット（集合）マイナス[後者セット（集合）のパワーセット（集合）]'なのか。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Pow (S' \setminus S)\)の各要素は\(Pow (S') \setminus_e S\)内に包含されていることを見る; ステップ2: \(Pow (S') \setminus_e S\)の各要素は\(Pow (S' \setminus S)\)内に包含されることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(S'' \in Pow (S' \setminus S)\)は任意のものであるとしよう。
それが意味するのは、\(S''\)は\(S' \setminus S\)のサブセット（部分集合）であるということ。したがって、以下を満たすあるフォーミュラ\(\phi\)、つまり、\(S'' = \{p \in S' \setminus S \vert \phi (p)\}\)がある。
\(Pow (S') \setminus_e S = \{p \in Pow (\cup Pow (S')) \vert \exists p' \in Pow (S') (p = p' \setminus S)\}\)、セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義によって。\(\cup Pow (S') = S'\)である、任意のセット（集合）に対して、当該セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）は当該セット（集合）であるという命題によって、から、\(Pow (S') \setminus_e S = \{p \in Pow S' \vert \exists p' \in Pow (S') (p = p' \setminus S)\}\)。
\(S'' \in Pow S'\)、なぜなら、\(S'' = \{p \in S' \vert p \in S' \setminus S \land \phi (p)\}\)、なぜなら、各\(p' \in S''\)に対して、\(p' \in S'\)、\(p' \in S' \setminus S\)、そして、\(\phi (p)\); 各\(p' \in \{p \in S' \vert p \in S' \setminus S \land \phi (p)\}\)に対して、\(p' \in S' \setminus S\)および\(\phi (p)\)、それが意味するのは、\(p' \in S''\)。\(\exists p' \in Pow (S') (S'' = p' \setminus S)\)、なぜなら、\(p' = S''\)でよい。
したがって、\(S'' \in Pow (S') \setminus_e S\)。したがって、\(Pow (S' \setminus S) \subseteq Pow (S') \setminus_e S\)。
ステップ2:
\(S'' \in Pow (S') \setminus_e S\)は任意のものとしよう。
\(S''\)は\(S' \setminus S\)のサブセット（部分集合）であるか？
以下を満たすある\(p' \in Pow (S')\)、つまり、\(S'' = p' \setminus S\)、がある。\(p'\)は\(S'\)のサブセット（部分集合）であるから、以下を満たすあるフォーミュラ\(\phi\)、つまり、\(p' = \{p \in S' \vert \phi (p)\}\)、がある。\(S'' = p' \setminus S\)であるから、\(S'' = \{p \in S' \vert \phi (p) \land p \in S' \setminus S\}\)。しかし、それは、\(S'' = \{p \in S' \setminus S \vert \phi (p)\}\)に等しい、なぜなら、各\(p'' \in \{p \in S' \vert \phi (p) \land p \in S' \setminus S\}\)に対して、\(p'' \in S' \setminus S\)および\(\phi (p)\); 各\(p'' \in \{p \in S' \setminus S \vert \phi (p)\}\)に対して、\(p'' \in S'\)、\(\phi (p)\)、\(p'' \in S' \setminus S\)。
したがって、\(S''\)は\(S' \setminus S\)のサブセット（部分集合）である。
したがって、\(S'' \in Pow (S' \setminus S)\)。したがって、\(Pow (S') \setminus_e S \subseteq Pow (S' \setminus S)\)。
ステップ3:
したがって、\(Pow (S' \setminus S) = Pow (S') \setminus_e S\)。
