734: セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）

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セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）のパワーセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\ast S^{\prime }{\setminus }_{e}S$: $=\{p\in Pow(\cup S^{\prime })|\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S^{\prime }(p=p^{\prime }\setminus S)\}$, $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）$S^{\prime }$、任意のセット（集合）$S$に対して、セット（集合）$S^{\prime }{\setminus }_{e}S=\{p\in Pow(\cup S^{\prime })|\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S^{\prime }(p=p^{\prime }\setminus S)\}$

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3: 注

もっとインフォーマルには、$S^{\prime }{\setminus }_{e}S=\{p^{\prime }\setminus S|p^{\prime }\in S^{\prime }\}$: $S$が$S^{\prime }$の各要素から差し引かれる. 注意として、その表現は、重複要素たちを含むかもしれない: $p^{\prime }\setminus S=p^{″}\setminus S$が何らかの$p^{\prime }\ne p^{″}\in S^{\prime }$に対して可能であるが、それは、その表現を不当にはしない（それほど望ましくはないにしても）、なぜなら、セット（集合）の定義は自動的に重複たちを抹消する。上記フォーマル表現を採択した理由は、先ほど述べた望ましくなさと、サブセット（部分集合）公理を適用するためである。

$S^{\prime }{\setminus }_{e}S$は本当にセット（集合）である: $Pow(\cup S^{\prime })$はユニオン（和集合）公理およびパワーセット（集合）公理によってセット（集合）である; $\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S^{\prime }(p=p^{\prime }\setminus S)$はサブセット（部分集合）公理に対する妥当なフォーミュラである。

"セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）"は、普及した用語ではないが、当該概念に対する普及した用語を私たちは見たことがないため、私たちで考案しなければならなかった。"要素たちマイナス"は、被減数および減数からあるセット（集合）を作成する当該オペレーターを意味する。同様に、${\setminus }_e$は普及した表記ではない。

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参考資料

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