726: ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる

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ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }B\subseteq V(S\subseteq B\wedge B\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）$S\subseteq V$に対して、以下を満たすあるベーシス（基底）$B\subseteq V$、つまり、$S\subseteq B$、がある。

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3: 注

$V$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を、$V$をジェネレイター（作成元たち）として適用する。

ステップ1:

$V$は$V$のジェネレイター（作成元たち）である。

任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題で、$V$をジェネレイター（作成元たち）とすることによって、$V$の以下を満たすあるベーシス（基底）$B$、つまり、$S\subseteq B\subseteq V$、がある。

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参考資料

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