ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \subseteq V (S \subseteq B \land B \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)に対して、以下を満たすあるベーシス（基底）\(B \subseteq V\)、つまり、\(S \subseteq B\)、がある。
3: 注
\(V\)はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題を、\(V\)をジェネレイター（作成元たち）として適用する。
ステップ1:
\(V\)は\(V\)のジェネレイター（作成元たち）である。
任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題で、\(V\)をジェネレイター（作成元たち）とすることによって、\(V\)の以下を満たすあるベーシス（基底）\(B\)、つまり、\(S \subseteq B \subseteq V\)、がある。
