2024年8月18日日曜日

727: ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底）にできる

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ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
S: ∈{V の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∀v∈V(∃rj∈F(v=∑vj∈Srjvj)))
⟹
∃B∈{S の全てのサブセット（部分集合）たち }(B∈{V の全てのベーシス（基底）たち })
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）V、以下を満たす任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）S⊆V、つまり、∀v∈V(∃rj∈F(v=∑vj∈Srjvj))、に対して、あるサブセット（部分集合）B⊆SでVのあるベーシス（基底）であるものがある。　.

3: 注1


任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題と比較しよう、それは、当該スペース（空間）はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）であると仮定しているが、当該サブセット（部分集合）はインフィニット（無限）であるかもしれない、その一方、本命題は、当該スペース（空間）はファイナイト（有限）であると仮定しないが、当該サブセット（部分集合）はファイナイト（有限）でなければならない。

4: 証明


全体戦略: ステップ1: V={0}というケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: 0がもしあれば、Sから取り除き、残されたサブセット（部分集合）をS′と記す、そして、S′はまだVをスパン（張る）ことを見る; ステップ3: もしも、S′がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それはあるベーシス（基底）である、そうでなければ、S′の他の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるある要素を取り除き、残されたサブセット（部分集合）を再びS′と記し、S′はまだVをスパン（張る）ことを見る; ステップ3: 等々と続く、S′はそのうちにVをスパン（張る）ことをやめることなくリニア（線形）にインディペンデント（独立）になることを見る。

ステップ1:

V={0}であると仮定しよう。

不可避に、S={0}。

B=∅⊆Sでよい。

これ以降はそうでないと仮定しよう。

ステップ2:

もしも0があれば、Sから取り除き、残されたサブセット（部分集合）をS′として表わそう。

S′は空でない、なぜなら、そうでなければ、V={0}。

S′={v1,...,vn}であるとしよう。

S′はまだVをスパン（張る）する、なぜなら、0は、Vをスパン（張る）のに何の役割も果たしていなかった: 0はどのみち0v1として実現できる。

ステップ3:

もしも、S′はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それはあるベーシス（基底）である。

そうでなければ、以下を満たすある全てはゼロでないある(r1,...,rn)、ここで、rj∈F、つまり、r1v1+...+rnvn=0、がある。rj≠0であると仮定すると、vj=rj−1(−r1v1−...−rjvj^−...−rnvn)。

すると、S′∖{vj}のことを考えよう。

それは、まだVをスパン（張る）する、なぜなら、S′の各リニアコンビネーション（線形結合）に対して、vjはrj−1(−r1v1−...−rjvj^−...−rnvn)で置き換えることができて、それは、S′∖{vj}のリニアコンビネーション（線形結合）である。

S′∖{vj}を再びS′として表わそう。

ステップ4:

もしも、S′はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、S′はあるベーシス（基底）である。

そうでなければ、任意の要素でそれが他の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるものを取り除き、残されたサブセット（部分集合）をS′と記そう、前と同様に。

S′はまだVをスパン（張る）する、前と同様に。

等々と続く、そして、そのうち、S′はリニア（線形）にインディペンデント（独立）になる、なぜなら、少なくとも、もしも、S′が1要素しかもたないようになったら、それはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

S′はVに対するあるベーシス（基底）である。

結果として、Vはファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である、私たちはそう仮定しなかったが。

5: 注2


実のところ、必ずしもファイナイト（有限）でない任意のジェネレイター（作成元たち）を縮小してあるベーシス（基底）にできる、任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、しかし、本証明も存在する価値があるように思われる、なぜなら、そのもっと一般的な命題の証明は、ベーシス（基底）を得る具体的な方法を何も示さない（それは、ゾーンのレンマ（補助定理）を使用する、それは、当該ベーシス（基底）の存在を、それを得る方法を示すことなく保証する）。

参考資料
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