ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v \in V (\exists r^j \in F (v = \sum_{v_j \in S} r^j v_j)))\)
\(\implies\)
\(\exists B \in \{S \text{ の全てのサブセット（部分集合）たち }\} (B \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、以下を満たす任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)、つまり、\(\forall v \in V (\exists r^j \in F (v = \sum_{v_j \in S} r^j v_j))\)、に対して、あるサブセット（部分集合）\(B \subseteq S\)で\(V\)のあるベーシス（基底）であるものがある。 .
3: 注1
任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題と比較しよう、それは、当該スペース（空間）はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）であると仮定しているが、当該サブセット（部分集合）はインフィニット（無限）であるかもしれない、その一方、本命題は、当該スペース（空間）はファイナイト（有限）であると仮定しないが、当該サブセット（部分集合）はファイナイト（有限）でなければならない。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V = \{0\}\)というケースに対処し、それ以降は、そうでないと仮定する; ステップ2: \(0\)がもしあれば、\(S\)から取り除き、残されたサブセット（部分集合）を\(S'\)と記す、そして、\(S'\)はまだ\(V\)をスパン（張る）ことを見る; ステップ3: もしも、\(S'\)がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それはあるベーシス（基底）である、そうでなければ、\(S'\)の他の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるある要素を取り除き、残されたサブセット（部分集合）を再び\(S'\)と記し、\(S'\)はまだ\(V\)をスパン（張る）ことを見る; ステップ3: 等々と続く、\(S'\)はそのうちに\(V\)をスパン（張る）ことをやめることなくリニア（線形）にインディペンデント（独立）になることを見る。
ステップ1:
\(V = \{0\}\)であると仮定しよう。
不可避に、\(S = \{0\}\)。
\(B = \emptyset \subseteq S\)でよい。
これ以降はそうでないと仮定しよう。
ステップ2:
もしも\(0\)があれば、\(S\)から取り除き、残されたサブセット（部分集合）を\(S'\)として表わそう。
\(S'\)は空でない、なぜなら、そうでなければ、\(V = \{0\}\)。
\(S' = \{v_1, ..., v_n\}\)であるとしよう。
\(S'\)はまだ\(V\)をスパン（張る）する、なぜなら、\(0\)は、\(V\)をスパン（張る）のに何の役割も果たしていなかった: \(0\)はどのみち\(0 v^1\)として実現できる。
ステップ3:
もしも、\(S'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、それはあるベーシス（基底）である。
そうでなければ、以下を満たすある全てはゼロでないある\((r^1, ..., r^n)\)、ここで、\(r^j \in F\)、つまり、\(r^1 v_1 + ... + r^n v_n = 0\)、がある。\(r^j \neq 0\)であると仮定すると、\(v_j = {r^j}^{-1} (- r^1 v_1 - ... \widehat{- r^j v_j} - ... - r^n v_n)\)。
すると、\(S' \setminus \{v_j\}\)のことを考えよう。
それは、まだ\(V\)をスパン（張る）する、なぜなら、\(S'\)の各リニアコンビネーション（線形結合）に対して、\(v_j\)は\({r^j}^{-1} (- r^1 v_1 - ... \widehat{- r^j v_j} - ... - r^n v_n)\)で置き換えることができて、それは、\(S' \setminus \{v_j\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）である。
\(S' \setminus \{v_j\}\)を再び\(S'\)として表わそう。
ステップ4:
もしも、\(S'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であれば、\(S'\)はあるベーシス（基底）である。
そうでなければ、任意の要素でそれが他の要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）であるものを取り除き、残されたサブセット（部分集合）を\(S'\)と記そう、前と同様に。
\(S'\)はまだ\(V\)をスパン（張る）する、前と同様に。
等々と続く、そして、そのうち、\(S'\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）になる、なぜなら、少なくとも、もしも、\(S'\)が1要素しかもたないようになったら、それはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
\(S'\)は\(V\)に対するあるベーシス（基底）である。
結果として、\(V\)はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である、私たちはそう仮定しなかったが。
5: 注2
実のところ、必ずしもファイナイト（有限）でない任意のジェネレイター（作成元たち）を縮小してあるベーシス（基底）にできる、任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題によって、しかし、本証明も存在する価値があるように思われる、なぜなら、そのもっと一般的な命題の証明は、ベーシス（基底）を得る具体的な方法を何も示さない（それは、ゾーンのレンマ（補助定理）を使用する、それは、当該ベーシス（基底）の存在を、それを得る方法を示すことなく保証する）。
