ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、ゾーンのレンマ（補助定理）を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および命題を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S'\): \(\in \{V \text{ の全てのジェネレイター（作成元たち）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq S'\), \(\in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \subseteq V (S \subseteq B \subseteq S' \land B \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)の任意のジェネレイター（作成元たち）\(S'\)、以下を満たす任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)、つまり、\(S \subseteq S'\)、に対して、以下を満たすあるベーシス（基底）\(B \subseteq V\)、つまり、\(S \subseteq B \subseteq S'\)、がある。
3: 注
\(V\)はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Pow (S')\)の以下を満たすサブセット（部分集合）\(S''\)、つまり、各要素は\(S\)を包含しリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を定義する; ステップ2: ゾーンのレンマ（補助定理）を\(S''\)へ適用し、任意のマキシマル（極大）要素を\(B\)として得る; ステップ3: \(B\)は\(S'\)をスパン（張る）ことを見る。
ステップ1:
\(S'' := \{p \in Pow (S') \vert S \subseteq p \land p \in \{V \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\}\)を定義しよう。
ステップ2:
\(S''\)はゾーンのレンマ（補助定理）に対するコンディションたちを満たすことを見よう。
\(S''\)は空でない、なぜなら、\(S \in S''\)。\(S''' \subseteq S''\)は任意の空でないチェインであるとしよう、それが意味するのは、各\(S_1, S_2 \in S'''\)に対して、\(S_1 \subseteq S_2\)または\(S_2 \subseteq S_1\)であること。(\cup S''' \in S''\)？\(\cup S''' = \{p \in S' \vert \exists p' \in S''' (p \in p')\}\)、したがって、\(\cup S''' \in Pow (S')\)。\(S \subseteq \cup S'''\)、明らかに。\(\cup S'''\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{p_1, ..., p_n\} \subseteq \cup S'''\)に対して、以下を満たす何らかの\(S_1 \in S''', ..., S_n \in S'''\)、つまり、\(p_1 \in S_1, ..., p_n \in S_n\)、がある、しかし、\(S'''\)はチェインであるから、各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して、以下を満たすある\(S_k\)、つまり、\(S_j \subseteq S_k\)、がある、したがって、\(\{p_1, ..., p_n\} \subseteq S_k\)、そして、\(S_k\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} c^j p_j = 0\)は全てゼロ\(c^j\)たちだけを持つ。したがって、\(\cup S''' \in S''\)。
ゾーンのレンマ（補助定理）によって、あるマキシマル（極大）要素\(B \in S''\)がある。
\(S \subseteq B \subseteq S'\)。
\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、それは\(S''\)の要素であるから。
ステップ3:
\(B\)は\(S'\)をスパン（張る）することを見よう。
\(p \in S' \setminus B\)は任意のものであるとしよう。
\(B \cup \{p\}\)はリニア（線形）にディペンデント（依存）である、なぜなら、そうでなければ、\(B\)はマキシマル（極大）でないことになる、なぜなら、\(B \cup \{p\} \in S''\)であることになる、\(B \subset B \cup \{p\}\)である一方。
したがって、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(\{b_1, ..., b_n, p\} \subseteq B \cup \{p\}\)、つまり、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} c^j b_j + c p = 0\)は全てはゼロでないある\((c^1, ..., c^n, c)\)を持つ、がある。実のところ、\(c \neq 0\)である、なぜなら、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} c^j b_j = 0\)は、\(c^j\)たち全てが\(0\)であったことを含意することになる、なぜなら、\(B\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であった。したがって、\(p = c^{-1} \sum_{j \in \{1, ..., n\}} - c^j b_j\)。
\(S'\)は\(V\)をスパン（張る）するから、\(B\)は\(V\)をスパン（張る）する。.
したがって、\(B\)は\(V\)のベーシス（基底）である。
