725: ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底）にできる

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ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義を知っている。
• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、ゾーンのレンマ（補助定理）を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のジェネレイター（作成元たち）、当該ジェネレイター（作成元たち）内に包含された任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該ジェネレイター（作成元たち）は、当該リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および命題を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S^{\prime }$: $\in \{V\text{ の全てのジェネレイター（作成元たち）たち }\}$
$S$: $\subseteq S^{\prime }$, $\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }B\subseteq V(S\subseteq B\subseteq S^{\prime }\wedge B\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$の任意のジェネレイター（作成元たち）$S^{\prime }$、以下を満たす任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）$S\subseteq V$、つまり、$S\subseteq S^{\prime }$、に対して、以下を満たすあるベーシス（基底）$B\subseteq V$、つまり、$S\subseteq B\subseteq S^{\prime }$、がある。

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3: 注

$V$はファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: $Pow(S^{\prime })$の以下を満たすサブセット（部分集合）$S^{″}$、つまり、各要素は$S$を包含しリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を定義する; ステップ2: ゾーンのレンマ（補助定理）を$S^{″}$へ適用し、任意のマキシマル（極大）要素を$B$として得る; ステップ3: $B$は$S^{\prime }$をスパン（張る）ことを見る。

ステップ1:

$S^{″}:=\{p\in Pow(S^{\prime })|S\subseteq p\wedge p\in \{V\text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）たち }\}\}$を定義しよう。

ステップ2:

$S^{″}$はゾーンのレンマ（補助定理）に対するコンディションたちを満たすことを見よう。

$S^{″}$は空でない、なぜなら、$S\in S^{″}$。$S^{‴}\subseteq S^{″}$は任意の空でないチェインであるとしよう、それが意味するのは、各$S_1,S_2\in S^{‴}$に対して、$S_1\subseteq S_2$または$S_2\subseteq S_1$であること。(\cup S''' \in S''\)？$\cup S^{‴}=\{p\in S^{\prime }|\mathrm{\exists }{p}^{\prime }\in S^{‴}(p\in p^{\prime })\}$、したがって、$\cup S^{‴}\in Pow(S^{\prime })$。$S\subseteq \cup S^{‴}$、明らかに。$\cup S^{‴}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）$\{p_1,...,p_n\}\subseteq \cup S^{‴}$に対して、以下を満たす何らかの$S_1\in S^{‴},...,S_n\in S^{‴}$、つまり、$p_1\in S_1,...,p_n\in S_n$、がある、しかし、$S^{‴}$はチェインであるから、各$j\in \{1,...,n\}$に対して、以下を満たすある$S_k$、つまり、$S_j\subseteq S_k$、がある、したがって、$\{p_1,...,p_n\}\subseteq S_k$、そして、$S_k$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{c}^j{p}_j=0$は全てゼロ$c^j$たちだけを持つ。したがって、$\cup S^{‴}\in S^{″}$。

ゾーンのレンマ（補助定理）によって、あるマキシマル（極大）要素$B\in S^{″}$がある。

$S\subseteq B\subseteq S^{\prime }$。

$B$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、それは$S^{″}$の要素であるから。

ステップ3:

$B$は$S^{\prime }$をスパン（張る）することを見よう。

$p\in S^{\prime }\setminus B$は任意のものであるとしよう。

$B\cup \{p\}$はリニア（線形）にディペンデント（依存）である、なぜなら、そうでなければ、$B$はマキシマル（極大）でないことになる、なぜなら、$B\cup \{p\}\in S^{″}$であることになる、$B\subset B\cup \{p\}$である一方。

したがって、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）$\{b_1,...,b_n,p\}\subseteq B\cup \{p\}$、つまり、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{c}^j{b}_j+cp=0$は全てはゼロでないある$(c^1,...,c^n,c)$を持つ、がある。実のところ、$c\ne 0$である、なぜなら、$\sum _{j\in \{1,...,n\}}{c}^j{b}_j=0$は、$c^j$たち全てが$0$であったことを含意することになる、なぜなら、$B$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であった。したがって、$p=c^{-1}\sum _{j\in \{1,...,n\}}-c^j{b}_j$。

$S^{\prime }$は$V$をスパン（張る）するから、$B$は$V$をスパン（張る）する。.

したがって、$B$は$V$のベーシス（基底）である。

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参考資料

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