721: ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さい

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ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）は、サブスペース（部分空間）で、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\{V_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $V_{\alpha }\in \{V\text{ の全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}$, $A\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$V^{\prime }$: $={\cap }_{\alpha \in A}{V}_{\alpha }$, $\subseteq V$
//

ステートメント（言明）たち:
$V^{\prime }\in \{V\text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}$
$\wedge$
$dim{V}^{\prime }\le min\{dim{V}_{\alpha }|\alpha \in A\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちの任意のセット（集合）$\{V_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、インターセクション（共通集合）$V^{\prime }:={\cap }_{\alpha \in A}{V}_{\alpha }\subseteq V$は、$V$のサブスペース（部分空間）であり、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さい。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $V^{\prime }$の任意の2要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）は$V^{\prime }$に属することを見る; ステップ2: 各$V_{\alpha }$に対する任意のベーシス（基底）を取り、当該ベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）は$V^{\prime }$のベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: $V^{\prime }$のディメンション（次元）は、 $V_{\alpha }$たちのディメンション（次元）たちのミニマム（最小）に等しいかそれより小さいということを見る。

ステップ1:

$v_1,v_2\in V^{\prime }$は任意のものであるとし、$r^1,r^2\in F$は任意のものであるとしよう。

$v_1\in V_{\alpha }$および$v_2\in V_{\alpha }$、各$\alpha$に対して。したがって、$\sum _{j\in \{1,2\}}{r}^j{v}_j\in V_{\alpha }$、各$\alpha$に対して。したがって、$\sum _{j\in \{1,2\}}{r}^j{v}_j\in V^{\prime }$。したがって、$V^{\prime }$は$V$のサブスペース（部分空間）である。

ステップ2:

$V_{\alpha }$のあるベーシス（基底）を$(e_{\alpha ,1},...,e_{\alpha ,d_{\alpha }})$であるとしよう。任意のベクトル$v\in V^{\prime }$は、当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）として表わすことができる、なぜなら、$v$は$V_{\alpha }$上のベクトルである。それが意味するのは、当該ベーシス（基底）は$V^{\prime }$をスパン（張る）ということ。

当該ベーシス（基底）はリデュース（削減）して$V^{\prime }$のあるベーシス（基底）にできる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題によって。

ステップ3:

したがって、$dim{V}^{\prime }\le dim{V}_{\alpha }$、各$\alpha \in A$に対して。

$\{dim{V}_{\alpha }|\alpha \in A\}$のミニマム（最小）がある、なぜなら、当該ディメンション（次元）たちのセット（集合）はカーディナルナンバーたちのセット（集合）であり、それはウェルオーダードセット（整列集合）である。

したがって、$min\{dim{V}_{\alpha }|\alpha \in A\}$は意味をなし、$dim{V}^{\prime }\le min\{dim{V}_{\alpha }|\alpha \in A\}$。

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4: 注

当該ディメンション（次元）は当該ミニマム（最小）に等しい必要はない。例えば、$V={\mathbb{R}}^3$、$V_1,V_2$はオリジン（原点）を通過する互いに異なるライン（線）たちである; $V_1\cap V_2=\{0\}$、それは$0$ディメンショナル（次元）である一方、当該ミニマム（最小）は$1$である。

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参考資料

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