ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）は、サブスペース（部分空間）で、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{V_\alpha \vert \alpha \in A\}\): \(V_\alpha \in \{V \text{ の全てのファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\), \(A \in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(V'\): \(= \cap_{\alpha \in A} V_\alpha\), \(\subseteq V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V' \in \{V \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(dim V' \le min \{dim V_\alpha \vert \alpha \in A\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちの任意のセット（集合）\(\{V_\alpha \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、インターセクション（共通集合）\(V' := \cap_{\alpha \in A} V_\alpha \subseteq V\)は、\(V\)のサブスペース（部分空間）であり、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さい。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V'\)の任意の2要素たちの任意のリニアコンビネーション（線形結合）は\(V'\)に属することを見る; ステップ2: 各\(V_\alpha\)に対する任意のベーシス（基底）を取り、当該ベーシス（基底）のあるサブセット（部分集合）は\(V'\)のベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(V'\)のディメンション（次元）は、 \(V_\alpha\)たちのディメンション（次元）たちのミニマム（最小）に等しいかそれより小さいということを見る。
ステップ1:
\(v_1, v_2 \in V'\)は任意のものであるとし、\(r^1, r^2 \in F\)は任意のものであるとしよう。
\(v_1 \in V_\alpha\)および\(v_2 \in V_\alpha\)、各\(\alpha\)に対して。したがって、\(\sum_{j \in \{1, 2\}} r^j v_j \in V_\alpha\)、各\(\alpha\)に対して。したがって、\(\sum_{j \in \{1, 2\}} r^j v_j \in V'\)。したがって、\(V'\)は\(V\)のサブスペース（部分空間）である。
ステップ2:
\(V_\alpha\)のあるベーシス（基底）を\((e_{\alpha, 1}, ..., e_{\alpha, d_\alpha})\)であるとしよう。任意のベクトル\(v \in V'\)は、当該ベーシス（基底）のリニアコンビネーション（線形結合）として表わすことができる、なぜなら、\(v\)は\(V_\alpha\)上のベクトルである。それが意味するのは、当該ベーシス（基底）は\(V'\)をスパン（張る）ということ。
当該ベーシス（基底）はリデュース（削減）して\(V'\)のあるベーシス（基底）にできる、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題によって。
ステップ3:
したがって、\(dim V' \le dim V_\alpha\)、各\(\alpha \in A\)に対して。
\(\{dim V_\alpha \vert \alpha \in A\}\)のミニマム（最小）がある、なぜなら、当該ディメンション（次元）たちのセット（集合）はカーディナルナンバーたちのセット（集合）であり、それはウェルオーダードセット（整列集合）である。
したがって、\(min \{dim V_\alpha \vert \alpha \in A\}\)は意味をなし、\(dim V' \le min \{dim V_\alpha \vert \alpha \in A\}\)。
4: 注
当該ディメンション（次元）は当該ミニマム（最小）に等しい必要はない。例えば、\(V = \mathbb{R}^3\)、\(V_1, V_2\)はオリジン（原点）を通過する互いに異なるライン（線）たちである; \(V_1 \cap V_2 = \{0\}\)、それは\(0\)ディメンショナル（次元）である一方、当該ミニマム（最小）は\(1\)である。
