ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）があることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）は、サブスペース（部分空間）で、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）および任意の2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、ある共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{V \text{ の全ての } k \text{ ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{V \text{ の全ての } k \text{ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists V_3 \in \{V \text{ の全てのサブスペース（部分空間）たち }\} (V_3 \in \{V_1 \text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\} \cap \{V_2 \text{ の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意の\(k\)ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち\(V_1, V_2\)に対して、\(V_1\)および\(V_2\)のある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）\(V_3 \subseteq V\)がある。
3: 証明
全体戦略: ある\(V_3\)を明示的に構築する; ステップ1: \(V_1 \cap V_2\)の任意のベーシス（基底）を\(\{e_1, ..., e_l\}\)として取る; ステップ2: \(\{e_1, ..., e_l\}\)へ\(V_j\)のいくつかの要素たちを追加して、\(V_j\)のあるベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l, e_{j, l + 1}, ..., e_{j, k}\}\)を形成する; ステップ3: \(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ4: \(V_1\)および\(V_2\)のベーシス（基底）たちに\(\{e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)を追加し、結果たちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)によってスパン（張る）される同一のサブスペース（部分空間）をスパン（張る）ことを見る; ステップ5: \(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)へ\(V\)のいくつかの要素たち\(\{e'_1, e'_2, ...\}\)を追加して、\(V\)のあるベーシス（基底）を形成する; ステップ6: \(V_3\)を、\(\{e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)によってスパン（張る）されるスペース（空間）として定義する; ステップ7: \(V_3\)は本当に\(V_1\)および\(V_2\)のある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であることを見る。
ある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）を構築しよう。
ステップ1:
\(V_1 \cap V_2\)はサブスペース（部分空間）であり、あるディメンション（ 次元）\(l \le k\)を持つ、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）は、サブスペース（部分空間）で、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいという命題によって。\(V_1 \cap V_2\)の任意のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l\}\)を取ろう。\(l\)は\(0\)であるかもしれないが、そのケースでは、それは空集合になる。
ステップ2:
\(\{e_1, ..., e_l\}\)は\(V_1\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、\(\sum_{j \in \{1, ..., l\}} c^j e_j = 0\)は、全てはゼロでないある\((c^1, ..., c^l)\)を持つことになる、それが意味するのは、\(\{e_1, ..., e_l\}\)は\(V_1 \cap V_2\)上でリニア（線形）にディペンデント（依存）であったということ。同様に、\(\{e_1, ..., e_l\}\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
\(V_1\)の何らかの\(k - l\)個要素たち\(\{e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}\}\)を\(\{e_1, ..., e_l\}\)へ追加して、\(V_1\)に対するあるベーシス（基底）を形成し、 and add some elements of \(V_2\)の何らかの\(k - l\)個要素たち\(\{e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)を\(\{e_1, ..., e_l\}\)へ追加して、\(V_2\)に対するあるベーシス（基底）を形成する、それは可能である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。
ステップ3:
\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)は\(V\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。なぜなら、もしも、ある\(e_{2, l + j}\)が他の要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）\(e_{2, l + j} = \sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + \sum_{n \in \{1, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n} + \sum_{o \in \{1, ..., j - 1, j + 1, ..., k - l\}} c''^o e_{2, l + o}\)であったら、\(e_{2, l + j} - \sum_{o \in \{1, ..., j - 1, j + 1, ..., k - l\}} c''^o e_{2, l + o} = \sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + \sum_{n \in \{1, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n}\)、しかし、左辺は\(0\)ではないことになる、なぜなら、\((e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k})\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、そして、右辺は\(V_1\)上のベクトルであることになる、したがって、\(e_{2, l + j} - \sum_{o \in \{1, ..., j - 1, j + 1, ..., k - l\}} c''^o e_{2, l + o}\)は\(V_1 \cap V_2\)内にいることになる、それが含意するのは、それは\(e_1, e_2, ..., e_l\)のリニアコンビネーション（線形結合）であるということ、\(\{e_1, ..., e_l, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることに反する矛盾。
ステップ4:
\(e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}\)を当該両ベーシス（基底）たちへ追加しよう。すると、両結果たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(V_1\)に対して、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、全段落の結果から（\(\sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + \sum_{n \in \{1, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n} + c'''_1 (e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}) = \sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + (c'^1 + c'''_1) e_{1, l + 1} + \sum_{n \in \{2, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n} + c'''_1 e_{2, l + 1}) = 0\)に対して、\(c'''_1 = 0\)および\(c'^1 + c'''_1 = 0\)、したがって、\(c'^1 = 0\)、そして、他の全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)である）、そして、\(V_2\)に対して同様。
次に、\(e_{1, l + 2} + e_{2, l + 2}\)を前段落の両結果たちへ追加しよう。すると、両結果たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、\(V_1\)に対して、\(\{e_1, e_2, ..., e_l, e_{1, l + 1}, e_{1, l + 2}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, e_{1, l + 2} + e_{2, l + 2}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である（\(\sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + \sum_{n \in \{1, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n} + c'''_1 (e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}) + c'''_2 (e_{1, l + 2} + e_{2, l + 2}) = \sum_{m \in \{1, ..., l\}} c^m e_m + (c'^1 + c'''_1) e_{1, l + 1} + (c'^2 + c'''_2) e_{1, l + 2} + \sum_{n \in \{3, ..., k - l\}} c'^n e_{1, l + n} + c'''_1 e_{2, l + 1} + c'''_2 e_{2, l + 2}) = 0\)に対して、\(c'''_1, c'''_2 = 0\)および\(c'^1 + c'''_1, c'^2 + c'''_2 = 0\)、したがって、\(c'^1, c'^2 = 0\)、そして、他の全てのコエフィシェント（係数）たちは\(0\)である）、そして、\(V_2\)に対して同様。
等々と続け、\(e_{1, k} + e_{2, k}\)を追加した。すると、両方の結果たちは同一のサブスペース（部分空間）をスパン（張る）し、そのスペース（空間）は\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)によってスパン（張る）されるものであり、\(V_4\)と記す。その理由は、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)の各要素は\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）である一方、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)の各要素は\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）であること: \(e_{2, j} = e_{1, j} + e_{2, j} - e_{1, j}\)、そして、\(\{e_1, ..., e_l, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)に対して同様。\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}\}\)、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)、\(\{e_1, ..., e_l, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}\}\)たちは\(V_4\)のベーシス（基底）たちである。
ステップ5:
いくつかのベクトルたち\(\{e'_1, e'_2, ...\}\)（ここでは表現の利便のためにそのようにインデックス付けられているが、それらはアンカウンタブル（不可算）数のベクトルたちであるかもしれない）を\(V_4\)の第1ベーシス（基底）に追加して、\(V\)のあるベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)を形成しよう、それは可能である、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題によって。実のところ、明らかに、\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)および\(\{e_1, ..., e_l, e_{2, l + 1}, ..., e_{2, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)も\(V\)のベーシス（基底）たちである。
ステップ6:
次に、\(V_3\)を\(\{e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)によってスパン（張る）されるスペース（空間）として定義する。
ステップ7:
\(V_3\)は本当に\(V_1\)のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であることを見よう。
\(V = V_1 + V_3\)であることを見よう。\(V\)は\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)によってスパン（張る）される。\(V_1\)は\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}\}\)によってスパン（張る）される。\(V_3\)は\(\{e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)によってスパン（張る）される。
\(V_1 \cap V_3 = \{0\}\)であることを見よう。\(V_3\)の任意の非ゼロ要素\(c^1 (e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}) + ... + c^k (e_{1, k} + e_{2, k}) + c'^1 e'_1 + c'^2 e'_2 + ...\)に対して、それは、\(V_1\)のベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}\}\)のリニアコンビネーション（線形結合）ではあり得ない、なぜなら、\(V\)の第2ベーシス（基底）\(\{e_1, ..., e_l, e_{1, l + 1}, ..., e_{1, k}, e_{1, l + 1} + e_{2, l + 1}, ..., e_{1, k} + e_{2, k}, e'_1, e'_2, ...\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、それが意味するのは、それは、\(V_1\)の要素ではないということ。
同様に、\(V_3\)は本当に\(V_2\)のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。
明らかであるが、もしも、\(l = 0\)であるか\(l = k\)であるか\(k\)が\(0\)か\(V\)のディメンション（次元）に等しいかしても、問題はない。実のところ、もしも、\(l = 0\)であれば、\(\{e_1, ..., e_l\}\)無しにすればよいだけである; もしも、\(l = k\)であれば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じである、そして、いずれにせよ、ある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）がある; もしも、\(k = 0\)であれば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じ\(\{0\}\)であり、\(V\)全体が共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である; もしも、\(k\)が\(V\)のディメンション（次元）に等しいならば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じ\(V\)であり、\(\{0\}\)が共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。
