2024年8月11日日曜日

722: ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）がある

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ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）があることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）および任意の2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、ある共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）があるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V1: ∈{V の全ての k ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }
V2: ∈{V の全ての kディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
∃V3∈{V の全てのサブスペース（部分空間）たち }(V3∈{V1 の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち }∩{V2 の全てのコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）たち })
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）V、任意のkディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちV1,V2に対して、V1およびV2のある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）V3⊆Vがある。

3: 証明


全体戦略: あるV3を明示的に構築する; ステップ1: V1∩V2の任意のベーシス（基底）を{e1,...,el}として取る; ステップ2: {e1,...,el}へVjのいくつかの要素たちを追加して、Vjのあるベーシス（基底）{e1,...,el,ej,l+1,...,ej,k}を形成する; ステップ3: {e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを見る; ステップ4: V1およびV2のベーシス（基底）たちに{e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}を追加し、結果たちがリニア（線形）にインディペンデント（独立）であり、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}によってスパン（張る）される同一のサブスペース（部分空間）をスパン（張る）ことを見る; ステップ5: {e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}へVのいくつかの要素たち{e1′,e2′,...}を追加して、Vのあるベーシス（基底）を形成する; ステップ6: V3を、{e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}によってスパン（張る）されるスペース（空間）として定義する; ステップ7: V3は本当にV1およびV2のある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であることを見る。

ある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）を構築しよう。

ステップ1:

V1∩V2はサブスペース（部分空間）であり、あるディメンション（ 次元）l≤kを持つ、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）は、サブスペース（部分空間）で、ディメンション（次元）は当該サブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいという命題によって。V1∩V2の任意のベーシス（基底）{e1,...,el}を取ろう。lは0であるかもしれないが、そのケースでは、それは空集合になる。

ステップ2:

{e1,...,el}はV1上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、そうでなければ、∑j∈{1,...,l}cjej=0は、全てはゼロでないある(c1,...,cl)を持つことになる、それが意味するのは、{e1,...,el}はV1∩V2上でリニア（線形）にディペンデント（依存）であったということ。同様に、{e1,...,el}はV2上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

V1の何らかのk−l個要素たち{e1,l+1,...,e1,k}を{e1,...,el}へ追加して、V1に対するあるベーシス（基底）を形成し、 and add some elements of V2の何らかのk−l個要素たち{e2,l+1,...,e2,k}を{e1,...,el}へ追加して、V2に対するあるベーシス（基底）を形成する、それは可能である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題によって。

ステップ3:

{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}はV上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。なぜなら、もしも、あるe2,l+jが他の要素たちのあるリニアコンビネーション（線形結合）e2,l+j=∑m∈{1,...,l}cmem+∑n∈{1,...,k−l}c′ne1,l+n+∑o∈{1,...,j−1,j+1,...,k−l}c″oe2,l+oであったら、e2,l+j−∑o∈{1,...,j−1,j+1,...,k−l}c″oe2,l+o=∑m∈{1,...,l}cmem+∑n∈{1,...,k−l}c′ne1,l+n、しかし、左辺は0ではないことになる、なぜなら、(e2,l+1,...,e2,k)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、そして、右辺はV1上のベクトルであることになる、したがって、e2,l+j−∑o∈{1,...,j−1,j+1,...,k−l}c″oe2,l+oはV1∩V2内にいることになる、それが含意するのは、それはe1,e2,...,elのリニアコンビネーション（線形結合）であるということ、{e1,...,el,e2,l+1,...,e2,k}がリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることに反する矛盾。

ステップ4:

e1,l+1+e2,l+1を当該両ベーシス（基底）たちへ追加しよう。すると、両結果たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、V1に対して、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、全段落の結果から（∑m∈{1,...,l}cmem+∑n∈{1,...,k−l}c′ne1,l+n+c1‴(e1,l+1+e2,l+1)=∑m∈{1,...,l}cmem+(c′1+c1‴)e1,l+1+∑n∈{2,...,k−l}c′ne1,l+n+c1‴e2,l+1)=0に対して、c1‴=0およびc′1+c1‴=0、したがって、c′1=0、そして、他の全てのコエフィシェント（係数）たちは0である）、そして、V2に対して同様。

次に、e1,l+2+e2,l+2を前段落の両結果たちへ追加しよう。すると、両結果たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、V1に対して、{e1,e2,...,el,e1,l+1,e1,l+2,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,e1,l+2+e2,l+2}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である（∑m∈{1,...,l}cmem+∑n∈{1,...,k−l}c′ne1,l+n+c1‴(e1,l+1+e2,l+1)+c2‴(e1,l+2+e2,l+2)=∑m∈{1,...,l}cmem+(c′1+c1‴)e1,l+1+(c′2+c2‴)e1,l+2+∑n∈{3,...,k−l}c′ne1,l+n+c1‴e2,l+1+c2‴e2,l+2)=0に対して、c1‴,c2‴=0およびc′1+c1‴,c′2+c2‴=0、したがって、c′1,c′2=0、そして、他の全てのコエフィシェント（係数）たちは0である）、そして、V2に対して同様。

等々と続け、e1,k+e2,kを追加した。すると、両方の結果たちは同一のサブスペース（部分空間）をスパン（張る）し、そのスペース（空間）は{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}によってスパン（張る）されるものであり、V4と記す。その理由は、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}の各要素は{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}のリニアコンビネーション（線形結合）である一方、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}の各要素は{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}のリニアコンビネーション（線形結合）であること: e2,j=e1,j+e2,j−e1,j、そして、{e1,...,el,e2,l+1,...,e2,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}に対して同様。{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k}、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}、{e1,...,el,e2,l+1,...,e2,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k}たちはV4のベーシス（基底）たちである。

ステップ5:

いくつかのベクトルたち{e1′,e2′,...}（ここでは表現の利便のためにそのようにインデックス付けられているが、それらはアンカウンタブル（不可算）数のベクトルたちであるかもしれない）をV4の第1ベーシス（基底）に追加して、Vのあるベーシス（基底）{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e2,l+1,...,e2,k,e1′,e2′,...}を形成しよう、それは可能である、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題によって。実のところ、明らかに、{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}および{e1,...,el,e2,l+1,...,e2,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}もVのベーシス（基底）たちである。

ステップ6:

次に、V3を{e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}によってスパン（張る）されるスペース（空間）として定義する。

ステップ7:

V3は本当にV1のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）であることを見よう。

V=V1+V3であることを見よう。Vは{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}によってスパン（張る）される。V1は{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k}によってスパン（張る）される。V3は{e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}によってスパン（張る）される。

V1∩V3={0}であることを見よう。V3の任意の非ゼロ要素c1(e1,l+1+e2,l+1)+...+ck(e1,k+e2,k)+c′1e1′+c′2e2′+...に対して、それは、V1のベーシス（基底）{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k}のリニアコンビネーション（線形結合）ではあり得ない、なぜなら、Vの第2ベーシス（基底）{e1,...,el,e1,l+1,...,e1,k,e1,l+1+e2,l+1,...,e1,k+e2,k,e1′,e2′,...}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、それが意味するのは、それは、V1の要素ではないということ。

同様に、V3は本当にV2のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。

明らかであるが、もしも、l=0であるかl=kであるかkが0かVのディメンション（次元）に等しいかしても、問題はない。実のところ、もしも、l=0であれば、{e1,...,el}無しにすればよいだけである; もしも、l=kであれば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じである、そして、いずれにせよ、ある共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）がある; もしも、k=0であれば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じ{0}であり、V全体が共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である; もしも、kがVのディメンション（次元）に等しいならば、2つのサブスペース（部分空間）たちは同じVであり、{0}が共通コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）である。

参考資料
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