ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall v \in V (\exists S' \in \{S \text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}, \exists r^j \in F (v = \sum_{v_j \in S'} r^j v_j)))\)
\(\implies\)
\(\exists B \in \{S \text{ の全ての } d \text{ オーダーサブセット（部分集合）たち }\} (B \in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq V\)、つまり、\(\forall v \in V (\exists S' \in \{\text{ the finite subsets of } S\}, \exists r^j \in F (v = \sum_{v_j \in S'} r^j v_j)))\)、に対して、ある\(d\)オーダーサブセット（部分集合）\(B \subseteq S\)で\(V\)のあるベーシス（基底）であるものがある。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V = \{0\}\)ケースに対処し、それ以降は、それ以外を仮定する; ステップ2: 任意の非ゼロ要素\(e_1 \in S\)を選ぶ; ステップ3: 以下を満たす任意の他の要素\(e_2 \in S \setminus \{e_1\}\)、つまり、\(\{e_1, e_2\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぶ; ステップ4: 等々と続け、リニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(\{e_1, ..., e_d\}\)を得る; ステップ5: \(\{e_1, ..., e_d\}\)はベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
\(V = \{0\}\)であると仮定しよう。
不可避に、\(S = \{0\}\)。
\(B = \emptyset \subseteq S\)でよい。
これ以降は、そうでないと仮定しよう。
ステップ2:
任意の非ゼロ要素\(e_1 \in S\)を選ぼう。それは可能である、なぜなら、もしも、\(S = \{0\}\)であった場合、\(S\)は\(V\)をスパン（張る）できないことになる。
ステップ3:
もしも、\(2 \le d\)である場合、以下を満たす任意の別の要素\(e_2 \in S \setminus \{e_1\}\)、つまり、\(\{e_1, e_2\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぼう。それは可能である、なぜなら、そうでなければ、各\(v \in S \setminus \{e_1\}\)に対して、\(\{e_1, v\}\)はリニア（線形）にディペンデント（依存）だということになる、それが意味するのは、\(c^1 e_1 + c^2 v = 0\)は全てがゼロではない\((c^1, c^2)\)を持つということ、しかし、\(c^2 \neq 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(c^1 e_1 = 0\)だということになり、それが意味するのは、\(e_1 = 0\)、矛盾、したがって、\(v = - {c^2}^{-1} c^1 e_1\)、それが意味するのは、\(\{e_1\}\)は\(V\)をスパン（張る）して\(\{e_1\}\)はベーシス（基底）であったということ、\(V\)が\(d\)ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。
ステップ4:
等々と続け、リニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(\{e_1, ..., e_d\}\)を得る。それは可能である、なぜなら、既に、任意の\(j \lt d\)に対してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な\(\{e_1, ..., e_j\}\)を選んだと仮定して、以下を満たすある要素\(e_{j + 1} \in S \setminus \{e_1, ..., e_j\}\)、つまり、\(\{e_1, ..., e_{j + 1}\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぶことができる、なぜなら、そうでなければ、各\(v \in S \setminus \{e_1, ..., e_j\}\)に対して、\(\{e_1, ..., e_j, v\}\)はリニア（線形）にディペンデント（独立）だということになり、それは、\(c^1 e_1 + ... + c^j e_j + c^{j + 1} v = 0\)は全てはゼロでない\(c^1, ..., c^{j + 1})\)を持つということを意味することになる、しかし、\(c^{j + 1} \neq 0\)、なぜなら、そうでなければ、\(c^1 e_1 + ... + c^j e_j = 0\)ということになり、それは、\((c^1, ..., c^j) = (0, ..., 0)\)を意味することになる、なぜなら、\(\{e_1, ..., e_j\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾、したがって、\(v = - {c^{j + 1}}^{-1} (c^1 e_1 + ... + c^j e_j)\)、それが意味するのは、\(\{e_1, ..., e_j\}\)は\(V\)をスパン（張る）して\(\{e_1, ..., e_j\}\)はベーシス（基底）であったということ、\(V\)が\(d\)ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。
ステップ5:
\(\{e_1, ..., e_d\}\)はベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。
