720: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできる

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）をスパンする（張る）任意のサブセット（部分集合）はリデュース（削減）してあるベーシス（基底）にできるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq V$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }v\in V(\mathrm{\exists }{S}^{\prime }\in \{S\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\},\mathrm{\exists }{r}^j\in F(v=\sum _{v_j\in S^{\prime }}{r}^j{v}_j)))$
$⟹$
$\mathrm{\exists }B\in \{S\text{ の全ての }d\text{ オーダーサブセット（部分集合）たち }\}(B\in \{V\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

任意のフィールド（体）$F$、任意の$d$ディメンショナル（次元）$F$ベクトルたちスペース（空間）$V$、以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq V$、つまり、$\mathrm{\forall }v\in V(\mathrm{\exists }{S}^{\prime }\in \{\text{ the finite subsets of }S\},\mathrm{\exists }{r}^j\in F(v=\sum _{v_j\in S^{\prime }}{r}^j{v}_j)))$、に対して、ある$d$オーダーサブセット（部分集合）$B\subseteq S$で$V$のあるベーシス（基底）であるものがある。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $V=\{0\}$ケースに対処し、それ以降は、それ以外を仮定する; ステップ2: 任意の非ゼロ要素$e_1\in S$を選ぶ; ステップ3: 以下を満たす任意の他の要素$e_2\in S\setminus \{e_1\}$、つまり、$\{e_1,e_2\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぶ; ステップ4: 等々と続け、リニア（線形）にインディペンデント（独立）な$\{e_1,...,e_d\}$を得る; ステップ5: $\{e_1,...,e_d\}$はベーシス（基底）であることを見る。

ステップ1:

$V=\{0\}$であると仮定しよう。

不可避に、$S=\{0\}$。

$B=\mathrm{\varnothing }\subseteq S$でよい。

これ以降は、そうでないと仮定しよう。

ステップ2:

任意の非ゼロ要素$e_1\in S$を選ぼう。それは可能である、なぜなら、もしも、$S=\{0\}$であった場合、$S$は$V$をスパン（張る）できないことになる。

ステップ3:

もしも、$2\le d$である場合、以下を満たす任意の別の要素$e_2\in S\setminus \{e_1\}$、つまり、$\{e_1,e_2\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぼう。それは可能である、なぜなら、そうでなければ、各$v\in S\setminus \{e_1\}$に対して、$\{e_1,v\}$はリニア（線形）にディペンデント（依存）だということになる、それが意味するのは、$c^1{e}_1+c^{2}v=0$は全てがゼロではない$(c^1,c^2)$を持つということ、しかし、$c^2\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$c^1{e}_1=0$だということになり、それが意味するのは、$e_1=0$、矛盾、したがって、$v=-{c^2}^{-1}{c}^1{e}_1$、それが意味するのは、$\{e_1\}$は$V$をスパン（張る）して$\{e_1\}$はベーシス（基底）であったということ、$V$が$d$ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。

ステップ4:

等々と続け、リニア（線形）にインディペンデント（独立）な$\{e_1,...,e_d\}$を得る。それは可能である、なぜなら、既に、任意の$j<d$に対してあるリニア（線形）にインディペンデント（独立）な$\{e_1,...,e_j\}$を選んだと仮定して、以下を満たすある要素$e_{j+1}\in S\setminus \{e_1,...,e_j\}$、つまり、$\{e_1,...,e_{j+1}\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、を選ぶことができる、なぜなら、そうでなければ、各$v\in S\setminus \{e_1,...,e_j\}$に対して、$\{e_1,...,e_j,v\}$はリニア（線形）にディペンデント（独立）だということになり、それは、$c^1{e}_1+...+c^j{e}_j+c^{j+1}v=0$は全てはゼロでない$c^1,...,c^{j+1})$を持つということを意味することになる、しかし、$c^{j+1}\ne 0$、なぜなら、そうでなければ、$c^1{e}_1+...+c^j{e}_j=0$ということになり、それは、$(c^1,...,c^j)=(0,...,0)$を意味することになる、なぜなら、$\{e_1,...,e_j\}$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）だった、矛盾、したがって、$v=-{c^{j+1}}^{-1}(c^1{e}_1+...+c^j{e}_j)$、それが意味するのは、$\{e_1,...,e_j\}$は$V$をスパン（張る）して$\{e_1,...,e_j\}$はベーシス（基底）であったということ、$V$が$d$ディメンショナル（次元）であることに反する矛盾。

ステップ5:

$\{e_1,...,e_d\}$はベーシス（基底）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）な任意のサブセット（部分集合）はベーシス（基底）であるという命題によって。

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参考資料

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