2024年8月18日日曜日

733: ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、方陣から特定の方法によって生成される

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ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、方陣から特定の方法によって生成されることの記述/証明

話題


About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはあるグループ（群）を形成する、もしも、各2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、当該方陣から特定の方法によって生成されるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
S: ={a1,...,an}、ここで、ajは互いに異なる任意のオブジェクト
M: ∈{S の全てのラテン方陣たち }で、各行Mjが(a1,...,an)のパーミュテーション（並べ替え）と見なされたもの
//

ステートメント（言明）たち:
(
∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))
⟺
{M1,...,Mn}∈{ 全てのグループ（群）たち }
)
∧
(
∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))
⟹
(
そのマルチプリケーション（積）たちテーブルM′はMから以下のように生成される:
1) もしも、Mjの第1列がakである場合、そしてその場合に限って、MjはMk′と記される: 結局、{M1,...,Mn}={M1′,...,Mn′}、異なるかもしれない順序たちで
2) M内の各ajはMj′によって置換される
3) 列ラベルたちは(M1′,...,Mn′)とする
4) 行ラベルたちはM′の第1列とする
)
)
//

例えば、M=(a2a3a1a1a2a3a3a1a2)に対して、M′=M1′M2′M3′M2′M2′M3′M1′M1′M1′M2′M3′M3′M3′M1′M2′; もちろん、行たちは、並び替えて、M′=M1′M2′M3′M1′M1′M2′M3′M2′M2′M3′M1′M3′M3′M1′M2′にできる。

2: 自然言語記述


互いに異なるオブジェクトたちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）S:={a1,...,an}、Sの任意のラテン方陣Mで、各行Mjが(a1,...,an)のパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものに対して、もしも、∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))である場合、そしてその場合に限って、{M1,...,Mn}はあるグループ（群）である、そして、そのマルチプリケーション（積）たちテーブルM′はMから以下のように生成される: 1) もしも、Mjの第1列がakである場合、そしてその場合に限って、MjはMk′と記される: 結局、{M1,...,Mn}={M1′,...,Mn′}、異なるかもしれない順序たちで; 2) M内の各ajはMj′によって置換される; 3) 列ラベルたちは(M1′,...,Mn′)とする; 4) 行ラベルたちはM′の第1列とする。

3: 証明


全体戦略: ステップ1: ∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))であると仮定する; ステップ2: {M1,...,Mn}内にあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る; ステップ3: see that for each 各Mjに対して、{M1,...,Mn}内にあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る; ステップ4: {M1,...,Mn}はグループ（群）であると結論する; ステップ5: {M1,...,Mn}はグループ（群）であると仮定する; ステップ6: ∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))であると結論する; ステップ7: see that 当該の方法で生成されたM′は本当に当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）テーブルであることを見る。

ステップ1:

∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))であると仮定する。

注意として、パーミュテーション（並べ替え）たちのコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、任意のパーミュテーション（並べ替え）はマップ（写像）であり、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）である。

ステップ2:

{M1,...,Mn}内にあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）があることを見よう。

{M1,...,Mn}は互いに異なるパーミュテーション（並べ替え）たちである。

j∈{1,...,n}は任意のものであるとしよう。{Mj∘M1,...,Mj∘Mn}は互いに異なるパーミュテーション（並べ替え）たちである、なぜなら、もしも、なんらかのk≠lに対してMj∘Mk=Mj∘Mlであったら、Mj−1∘Mj∘Mk=Mj−j∘Mj∘Ml（Mj−1が{M1,...,Mn}内にいるとはまだ証明されていないが、それは、そのオペレーションたちを行なうことを妨げはしない）、したがって、Mk=Ml、矛盾。

Mj∘Mk=Mlであるから、(Mj∘M1,...,Mj∘Mn)は(M1,...,Mn)のあるパーミュテーション（並べ替え）である。したがって、以下を満たすあるk、つまり、Mj∘Mk=Mj、がある。すると、Mj−1∘Mj∘Mk=Mj−1∘Mj、したがって、Mk=id。したがって、Mkはあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）である。

ステップ3:

各Mjに対して、{M1,...,Mn}内にあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る。

{Mj∘M1,...,Mj∘Mn}は(M1,...,Mn)のあるパーミュテーション（並べ替え）であり、{M1,...,Mn}内にidがあるから、以下を満たすあるk∈{1,...,n}、つまり、MjMk=id、がある。すると、MkMj=idも真である、なぜなら、Mkはalをamへマップする一方、Mjはamをalへマップする、したがって、MkMjはamをamへマップする。

したがって、MkはMjのあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）である。

ステップ4:

したがって、{M1,...,Mn}はオペレーションたちの下に閉じている、オペレーションたちはアソシアティブ（結合的）である、あるアイデンティティ（単位）要素がある、各要素に対してあるインバース（逆）がある、したがって、{M1,...,Mn}はグループ（群）である。

ステップ5:

{M1,...,Mn}はグループ（群）であることを仮定しよう。

ステップ6:

∀j,k∈{1,...,n}(∃l∈{1,...,n}(Mk∘Mj=Ml))は保証されている、グループ（群）の定義によって。

ステップ7:

M′は本当にマルチプリケーション（積）たちテーブルであることを見よう。

{M1,...,Mn}={M1′,...,Mn′}は真である、なぜなら、Mの第1列は(a1,...,an)のパーミュテーション（並べ替え）である。

各j,k∈{1,...,n}に対して、Mk′Mj′=Ml′は、Mk′Mj′はa1をalへマップすることを意味する、しかし、Mj′はa1をajへマップする、したがって、Mk′はajをalへマップする、それが意味するのは、al=Mmj、ここで、Mk′=Mm。Mk′はM′のm番目行に対応し、Mj′はM′のj番目列に対応するので、M′の(m,j)コンポーネントはMl′でなければならない。したがって、Mmj=alをMl′で置換することは、本当に当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成する。

4: 注


即座のコロラリー（補助命題）として、M′のコンポーネントたちをMj′↦ajで置換すると、{a1,...,an}をグループ（群）とするあるマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成する、なぜなら、それは、シンボルたちの単なる置換であり、それは、グループ（群）の定義への準拠を壊さない。それが意味するのは、Mに対して、列ラベルたち(a1,...,an)およびMの第1列に等しい行ラベルたちを追加すると、{a1,...,an}をグループ（群）とするあるマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成するということ。

参考資料
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