ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、方陣から特定の方法によって生成されることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）セット（集合）のラテン方陣の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはあるグループ（群）を形成する、もしも、各2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、当該方陣から特定の方法によって生成されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(= \{a_1, ..., a_n\}\)、ここで、\(a_j\)は互いに異なる任意のオブジェクト
\(M\): \(\in \{S \text{ の全てのラテン方陣たち }\}\)で、各行\(M_j\)が\((a_1, ..., a_n)\)のパーミュテーション（並べ替え）と見なされたもの
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)
\(\iff\)
\(\{M_1, ..., M_n\} \in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
)
\(\land\)
(
\(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)
\(\implies\)
(
そのマルチプリケーション（積）たちテーブル\(M'\)は\(M\)から以下のように生成される:
1) もしも、\(M_j\)の第1列が\(a_k\)である場合、そしてその場合に限って、\(M_j\)は\(M'_k\)と記される: 結局、\(\{M_1, ..., M_n\} = \{M'_1, ..., M'_n\}\)、異なるかもしれない順序たちで
2) \(M\)内の各\(a_j\)は\(M'_j\)によって置換される
3) 列ラベルたちは\((M'_1, ..., M'_n)\)とする
4) 行ラベルたちは\(M'\)の第1列とする
)
)
//
例えば、\(M = \begin{pmatrix} a_2 & a_3 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_1 & a_2 \end{pmatrix}\)に対して、\(M' = \begin{array} {l|lll} & M'_1 & M'_2 & M'_3 \\ \hline M'_2 & M'_2 & M'_3 & M'_1 \\ M'_1 & M'_1 & M'_2 & M'_3 \\ M'_3 & M'_3 & M'_1 & M'_2 \end{array}\); もちろん、行たちは、並び替えて、\(M' = \begin{array} {l|lll} & M'_1 & M'_2 & M'_3 \\ \hline M'_1 & M'_1 & M'_2 & M'_3 \\ M'_2 & M'_2 & M'_3 & M'_1 \\ M'_3 & M'_3 & M'_1 & M'_2 \end{array}\)にできる。
2: 自然言語記述
互いに異なるオブジェクトたちの任意のファイナイト（有限）セット（集合）\(S := \{a_1, ..., a_n\}\)、\(S\)の任意のラテン方陣\(M\)で、各行\(M_j\)が\((a_1, ..., a_n)\)のパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものに対して、もしも、\(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)である場合、そしてその場合に限って、\(\{M_1, ..., M_n\}\)はあるグループ（群）である、そして、そのマルチプリケーション（積）たちテーブル\(M'\)は\(M\)から以下のように生成される: 1) もしも、\(M_j\)の第1列が\(a_k\)である場合、そしてその場合に限って、\(M_j\)は\(M'_k\)と記される: 結局、\(\{M_1, ..., M_n\} = \{M'_1, ..., M'_n\}\)、異なるかもしれない順序たちで; 2) \(M\)内の各\(a_j\)は\(M'_j\)によって置換される; 3) 列ラベルたちは\((M'_1, ..., M'_n)\)とする; 4) 行ラベルたちは\(M'\)の第1列とする。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)であると仮定する; ステップ2: \(\{M_1, ..., M_n\}\)内にあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る; ステップ3: see that for each 各\(M_j\)に対して、\(\{M_1, ..., M_n\}\)内にあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る; ステップ4: \(\{M_1, ..., M_n\}\)はグループ（群）であると結論する; ステップ5: \(\{M_1, ..., M_n\}\)はグループ（群）であると仮定する; ステップ6: \(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)であると結論する; ステップ7: see that 当該の方法で生成された\(M'\)は本当に当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）テーブルであることを見る。
ステップ1:
\(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)であると仮定する。
注意として、パーミュテーション（並べ替え）たちのコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、任意のパーミュテーション（並べ替え）はマップ（写像）であり、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）である。
ステップ2:
\(\{M_1, ..., M_n\}\)内にあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）があることを見よう。
\(\{M_1, ..., M_n\}\)は互いに異なるパーミュテーション（並べ替え）たちである。
\(j \in \{1, ..., n\}\)は任意のものであるとしよう。\(\{M_j \circ M_1, ..., M_j \circ M_n\}\)は互いに異なるパーミュテーション（並べ替え）たちである、なぜなら、もしも、なんらかの\(k \neq l\)に対して\(M_j \circ M_k = M_j \circ M_l\)であったら、\({M_j}^{-1} \circ M_j \circ M_k = {M_j}^{-j} \circ M_j \circ M_l\)（\({M_j}^{-1}\)が\(\{M_1, ..., M_n\}\)内にいるとはまだ証明されていないが、それは、そのオペレーションたちを行なうことを妨げはしない）、したがって、\(M_k = M_l\)、矛盾。
\(M_j \circ M_k = M_l\)であるから、\((M_j \circ M_1, ..., M_j \circ M_n)\)は\((M_1, ..., M_n)\)のあるパーミュテーション（並べ替え）である。したがって、以下を満たすある\(k\)、つまり、\(M_j \circ M_k = M_j\)、がある。すると、\({M_j}^{-1} \circ M_j \circ M_k = {M_j}^{-1} \circ M_j\)、したがって、\(M_k = id\)。したがって、\(M_k\)はあるアイデンティティ（単位）パーミュテーション（並べ替え）である。
ステップ3:
各\(M_j\)に対して、\(\{M_1, ..., M_n\}\)内にあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）があることを見る。
\(\{M_j \circ M_1, ..., M_j \circ M_n\}\)は\((M_1, ..., M_n)\)のあるパーミュテーション（並べ替え）であり、\(\{M_1, ..., M_n\}\)内に\(id\)があるから、以下を満たすある\(k \in \{1, ..., n\}\)、つまり、\(M_j M_k = id\)、がある。すると、\(M_k M_j = id\)も真である、なぜなら、\(M_k\)は\(a_l\)を\(a_m\)へマップする一方、\(M_j\)は\(a_m\)を\(a_l\)へマップする、したがって、\(M_k M_j\)は\(a_m\)を\(a_m\)へマップする。
したがって、\(M_k\)は\(M_j\)のあるインバース（逆）パーミュテーション（並べ替え）である。
ステップ4:
したがって、\(\{M_1, ..., M_n\}\)はオペレーションたちの下に閉じている、オペレーションたちはアソシアティブ（結合的）である、あるアイデンティティ（単位）要素がある、各要素に対してあるインバース（逆）がある、したがって、\(\{M_1, ..., M_n\}\)はグループ（群）である。
ステップ5:
\(\{M_1, ..., M_n\}\)はグループ（群）であることを仮定しよう。
ステップ6:
\(\forall j, k \in \{1, ..., n\} (\exists l \in \{1, ..., n\} (M_k \circ M_j = M_l))\)は保証されている、グループ（群）の定義によって。
ステップ7:
\(M'\)は本当にマルチプリケーション（積）たちテーブルであることを見よう。
\(\{M_1, ..., M_n\} = \{M'_1, ..., M'_n\}\)は真である、なぜなら、\(M\)の第1列は\((a_1, ..., a_n)\)のパーミュテーション（並べ替え）である。
各\(j, k \in \{1, ..., n\}\)に対して、\(M'_k M'_j = M'_l\)は、\(M'_k M'_j\)は\(a_1\)を\(a_l\)へマップすることを意味する、しかし、\(M'_j\)は\(a_1\)を\(a_j\)へマップする、したがって、\(M'_k\)は\(a_j\)を\(a_l\)へマップする、それが意味するのは、\(a_l = M_m^j\)、ここで、\(M'_k = M_m\)。\(M'_k\)は\(M'\)の\(m\)番目行に対応し、\(M'_j\)は\(M'\)の\(j\)番目列に対応するので、\(M'\)の\((m, j)\)コンポーネントは\(M'_l\)でなければならない。したがって、\(M_m^j = a_l\)を\(M'_l\)で置換することは、本当に当該グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成する。
4: 注
即座のコロラリー（補助命題）として、\(M'\)のコンポーネントたちを\(M'_j \mapsto a_j\)で置換すると、\(\{a_1, ..., a_n\}\)をグループ（群）とするあるマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成する、なぜなら、それは、シンボルたちの単なる置換であり、それは、グループ（群）の定義への準拠を壊さない。それが意味するのは、\(M\)に対して、列ラベルたち\((a_1, ..., a_n)\)および\(M\)の第1列に等しい行ラベルたちを追加すると、\(\{a_1, ..., a_n\}\)をグループ（群）とするあるマルチプリケーション（積）たちテーブルを生成するということ。
