710: n-シンメトリックグループ（対称群）

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n-シンメトリックグループ（対称群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、n-シンメトリックグループ（対称群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$S$: $=\{1,...,n\}$
$\ast S_n$: $=\{S\text{ 上の全てのパーミュテーション（並び替え）たち }\}$で、マップ（写像）たちコンポジション（合成）をグループ（群）オペレーションを持つもの
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コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のナチュラルナンバー（自然数）$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$およびセット（集合）$S:=\{1,...,n\}$に対して、$S$上の全てのパーミュテーション（並び替え）たちのセット（集合）$S_n$で、マップ（写像）たちコンポジション（合成）をグループ（群）オペレーションを持つもの

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3: 注

$S_n$は本当にグループ（群）である: 1) 任意の要素たち$p_1,p_2,p_3\in S_n$に対して、$(p_1{p}_2)p_3=p_1(p_2{p}_3)$、なぜなら、$p_j$はマップ（写像）であり、マップ（写像）たちのコンポジット（合成）はアソシアティブ（結合的）である; 2) アイデンティティマップ（恒等写像）$id$がアイデンティティ（単位）要素である; 3) 各要素に対して、インバース（逆）マップ（写像）はインバース（逆）元である。

勿論、nオーダーの任意の他のセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）のことを考えることができるが、それは厳密には$S_n$ではない、しかし、明らかに$S_n$へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。私たちは、$S$を$\{1,...,n\}$と指定した、ユニークに$S_n$を決定するために: とても広く、'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちは"同じ"であると言われるが、私たちはそのスタンスは採択しない。

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参考資料

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