nシンメトリックグループ（対称群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、nシンメトリックグループ（対称群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( S\): \(= \{1, ..., n\}\)
\(*S_n\): \(= \{S \text{ 上の全てのパーミュテーション（並び替え）たち }\}\)で、マップ（写像）たちコンポジション（合成）をグループ（群）オペレーションを持つもの
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コンディションたち:
//
2: 自然言語記述
任意のナチュラルナンバー（自然数）\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)およびセット（集合）\(S := \{1, ..., n\}\)に対して、\(S\)上の全てのパーミュテーション（並び替え）たちのセット（集合）\(S_n\)で、マップ（写像）たちコンポジション（合成）をグループ（群）オペレーションを持つもの
3: 注
\(S_n\)は本当にグループ（群）である: 1) 任意の要素たち\(p_1, p_2, p_3 \in S_n\)に対して、\((p_1 p_2) p_3 = p_1 (p_2 p_3)\)、なぜなら、\(p_j\)はマップ（写像）であり、マップ（写像）たちのコンポジット（合成）はアソシアティブ（結合的）である; 2) アイデンティティマップ（恒等写像）\(id\)がアイデンティティ（単位）要素である; 3) 各要素に対して、インバース（逆）マップ（写像）はインバース（逆）元である。
勿論、nオーダーの任意の他のセット（集合）のパーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）のことを考えることができるが、それは厳密には\(S_n\)ではない、しかし、明らかに\(S_n\)へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。私たちは、\(S\)を\(\{1, ..., n\}\)と指定した、ユニークに\(S_n\)を決定するために: とても広く、'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちは"同じ"であると言われるが、私たちはそのスタンスは採択しない。
