709: バウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）からバウンダリー（境界）付きC∞マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って

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バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）からバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）の中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全てのバウンダリー（境界）付き }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$S_1$: $\subseteq M_1$
$S_2$: $\subseteq M_2$
$f$: $:S_1\to S_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのローカルディフェオモーフィズムたち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }p\in S_1(\mathrm{\exists }(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)\in \{M_1\text{ の全てのチャートたち }\},\mathrm{\exists }(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})\in \{M_2\text{ の全てのチャートたち }\}({\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}:{\varphi }_p(U_p\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)\in \{\text{ 全てのディフェオモーフィズムたち }\}))$
//

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2: 自然言語記述

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M_1$、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_1\subseteq M_1$、任意のサブセット（部分集合）$S_2\subseteq M_2$、任意のマップ（写像）$f:S_1\to S_2$に対して、$f$はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各$p\in S_1$に対して、以下を満たすあるチャートたち$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$、つまり、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}:{\varphi }_p(U_p\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)$がディフェオモーフィズムである、がある場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はローカルにディフェオモーフィックであると仮定する; ステップ2: 各$p\in S_1$に対して、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq M_1$および$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2$でローカルディフェオモーフィズムが保証するものを取る; ステップ3: あるチャート$(U_p^{″}\subseteq M_1,{\varphi }_p^{″})$およびあるチャート$(U_{f(p)}^{″}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}^{″})$で$p$における$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）の定義が保証するものを取る; ステップ4: チャート$(U_p:=U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p:={\varphi }_p^{″}{|}_{U_p})$を定義し、$f(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$である、$f(p)$の$M_2$上のあるオープンネイバーフッド（開近傍）U'''_{f (p)}に対して、ことを見る; ステップ5: チャート$(U_{f(p)}:=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}:={\varphi }_{f(p)}^{″}{|}_{U_{f(p)}})$を定義する; ステップ6: $(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$ and $(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$が当該コンディションたちを満たすことを見る; ステップ7: 当該コンディションたちを満たすあるチャートたち$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$があると仮定する; ステップ8: $U_p$および$U_{f(p)}$はローカルディフェオモーフィズムの定義が要求するオープンネイバーフッド（開近傍）たちであることを見る。

ステップ1:

$f$はローカルにディフェオモーフィックであると仮定しよう。

ステップ2:

各$p\in S_1$に対して、,$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq M_1$および$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2$でローカルディフェオモーフィズムが保証するものを取ろう。それが意味するのは、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}:U_p^{\prime }\cap S_1\to U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$はディフェオモーフィックであるということ。

ステップ3:

特に、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$は$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、あるチャート$(U_p^{″}\subseteq M_1,{\varphi }_p^{″})$およびあるチャート$(U_{f(p)}^{″}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}^{″})$で$p$における$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）の定義が保証するものを取ろう。それが意味するのは、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{″}$および${\varphi }_{f(p)}^{″}\circ f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}\circ {{\varphi }_p^{″}}^{-1}{|}_{{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)}:{\varphi }_p^{″}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}^{″}(U_{f(p)}^{″})$は${\varphi }_p^{″}(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるということ。

ステップ4:

チャート$(U_p:=U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\subseteq M_1,{\varphi }_p:={\varphi }_p^{″}{|}_{U_p})$を定義しよう。

$U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1$は$U_p^{\prime }\cap S_1$のオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって、そして、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$はホメオモーフィック（位相同形写像）であるから、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)$は$U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$のオープンサブセット（開部分集合）である、したがって、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$、$f(p)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{f(p)}^{‴}\subseteq M_2$に対して、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。

$U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$、なぜなら、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p^{″}\cap U_p^{\prime }\cap S_1)\subseteq U_{f(p)}^{″}$、したがって、$U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)\cap U_{f(p)}^{″}=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2\cap U_{f(p)}^{″}=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2$。

ステップ5:

チャート$(U_{f(p)}:=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)}:={\varphi }_{f(p)}^{″}{|}_{U_{f(p)}})$を定義しよう。

ステップ6:

$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$が本命題の条件たちを満たすことを見よう。

$f{|}_{U_p\cap S_1}:U_p\cap S_1\to U_{f(p)}\cap S_2$はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、$f{|}_{U_p\cap S_1}$はバイジェクティブ（全単射）$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$のリストリクション（制限）としてインジェクティブ（単射）であるところ、$f{|}_{U_p\cap S_1}(U_p\cap S_1)=f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}(U_p\cap U_p^{\prime }\cap S_1)=U_{f(p)}^{‴}\cap U_{f(p)}^{″}\cap U_{f(p)}^{\prime }\cap S_2=U_{f(p)}\cap S_2$。

任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$0$を除外し$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイント周りのドメイン（定義域）チャートと対応するポイント周りのコドメイン（余域）チャートの任意のペアでドメイン（定義域）チャートとドメイン（定義域）のインターセクション（共通集合）がコドメイン（余域）チャートの中へマップされるものは定義の条件を満たすという命題によって、$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$ペアは、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}$に対する$C^{\mathrm{\infty }}$性の定義の条件を満たす。

したがって、${\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}:{\varphi }_p(U_p\cap S_1)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})={\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_{U_p\cap S_1}\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

同様に、$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$および$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$ペアは${f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}}^{-1}$に対する$C^{\mathrm{\infty }}$性の定義の条件を満たす。

したがって、${\varphi }_p\circ {f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}}^{-1}\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}{|}_{{\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)}:{\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)\to {\varphi }_p(U_p)={\varphi }_p\circ {f{|}_{U_p\cap S_1}}^{-1}\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}{|}_{{\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

${\varphi }_p\circ {f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}}^{-1}\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}{|}_{{\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)}\cap S_2)}=({\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}{)}^{-1}$。

したがって、${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}={\varphi }_{f(p)}\circ f{|}_{U_p^{\prime }\cap S_1}\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}$はディフェオモーフィズムである。

ステップ7:

なんらかのチャートたち$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$で本命題の条件たちを満たすものたちがある。

ステップ8:

$f{|}_{U_p\cap S_1}:U_p\cap S_1\to U_{f(p)}\cap S_2$はディフェオモーフィズムである、なぜなら、バイジェクティブ（全単射）であり、各$p^{\prime }\in U_p\cap S_1$に対して、チャートたちペア$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$がある、それらは$p^{\prime }$および$f(p^{\prime })$のチャートたちであり、$f{|}_{U_p\cap S_1}$が$p^{\prime }$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることおよび${f{|}_{U_p\cap S_1}}^{-1}$が$f(p^{\prime })$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることの条件を満たす。

したがって、$f$はローカルにディフェオモーフィックである。

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4: 注

${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}{|}_{{\varphi }_p(U_p\cap S_1)}$がディフェオモーフィックであるというのは、それがディフェオモーフィックエクステンション（拡張）を持つことを必ずしも意味しない。

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参考資料

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