オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、モーションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(F \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意のノルム付き\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意のオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)はモーションである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の要素たち\(v, v' \in V_1\)を選ぶ; ステップ2: \(\Vert v - v' \Vert = \Vert f (v) - f (v') \Vert\)であることを見る。
ステップ1:
任意の要素たち\(v, v' \in V_1\)を選ぼう。
ステップ2:
\(\Vert v - v' \Vert = \Vert f (v - v') \Vert = \Vert f (v) - f (v') \Vert\)。
したがって、\(f\)はモーションである。
