742: モーションはインジェクティブ（単射）である

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モーションはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、モーションの定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F_1$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$F_2$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのノルム付き }{F}_1\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのノルム付き }{F}_2\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$F_1\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の$F_2\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意のノルム付き$F_1$ベクトルたちスペース（空間）$V_1$、任意のノルム付き$F_2$ベクトルたちスペース（空間）$V_2$、任意のモーション$f:V_1\to V_2$に対して、$f$はインジェクション（単射）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の互いに異なる要素たち$v,v^{\prime }\in V_1$を選ぶ; ステップ2: $f(v)=f(v^{\prime })$であると仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

以下を満たす任意の要素たち$v,v^{\prime }\in V_1$、つまり、$v\ne v^{\prime }$、を選ぼう。

ステップ2:

$f(v)=f(v^{\prime })$であると仮定しよう。

$\Vert v-v^{\prime }\Vert =\Vert f(v)-f(v^{\prime })\Vert =\Vert 0\Vert =0$、それが含意するのは、$v-v^{\prime }=0$、それが含意するのは、$v=v^{\prime }$、矛盾。

したがって、$f(v)\ne f(v^{\prime })$。

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参考資料

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