モーションはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モーションの定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモーションはインジェクティブ（単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F_1\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( F_2\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } F_1 \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } F_2 \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのモーションたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(F_1 \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意の\(F_2 \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの、任意のノルム付き\(F_1\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_1\)、任意のノルム付き\(F_2\)ベクトルたちスペース（空間）\(V_2\)、任意のモーション\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(f\)はインジェクション（単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の互いに異なる要素たち\(v, v' \in V_1\)を選ぶ; ステップ2: \(f (v) = f (v')\)であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
以下を満たす任意の要素たち\(v, v' \in V_1\)、つまり、\(v \neq v'\)、を選ぼう。
ステップ2:
\(f (v) = f (v')\)であると仮定しよう。
\(\Vert v - v' \Vert = \Vert f (v) - f (v') \Vert = \Vert 0 \Vert = 0\)、それが含意するのは、\(v - v' = 0\)、それが含意するのは、\(v = v'\)、矛盾。
したがって、\(f (v) \neq f (v')\)。
