グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、オペレーター\(\cdot\)を持つもの
\(*\widetilde{G}\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、セット（集合）としては\(= G\)で、オペレーター\(*\)を持つもの
//
コンディションたち: \(\forall p_1, p_2 \in \widetilde{G} (p_1 * p_2 = p_2 \cdot p_1)\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)で、オペレーター\(\cdot\)を持つものに対して、グループ（群）\(\widetilde{G}\)、それは、セット（集合）としては\(G\)を持ち、オペレーターとしては以下を満たす\(*\)、つまり、各\(\forall p_1, p_2 \in \widetilde{G}\)に対して、\(p_1 * p_2 = p_2 \cdot p_1\)、を持つもの
3: 注
\(\widetilde{G}\)は本当にグループ（群）である: 0) 各\(p_1, p_2 \in \widetilde{G}\)に対して、\(p_1 * p_2 = p_2 \cdot p_1 \in G = \widetilde{G}\); 1) 各要素たち\(p_1, p_2, p_3 \in \widetilde{G}\)に対して、\((p_1 * p_2) * p_3 = p_3 \cdot (p_2 \cdot p_1) = (p_3 \cdot p_2) \cdot p_1 = p_1 * (p_2 * p_3)\); 2) アイデンティティ（単位）要素\(1 \in G\)が\(\widetilde{G}\)内のアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、各\(p \in \widetilde{G}\)に対して、\(1 * p = p \cdot 1 = p = 1 \cdot p = p * 1\)、したがって、表記"\(1\)"は、それがどちらのグループ（群）のアイデンティティ（単位）要素であるかを指定することなく使われる; 3) 各\(p \in \widetilde{G}\)に対して、インバース（逆）\(p^{-1} \in G\)が、\(\widetilde{G}\)内のインバース（逆）である、なぜなら、\(p^{-1} * p = p \cdot p^{-1} = 1 = p^{-1} \cdot p = p * p^{-1}\)、したがって、表記"\(p^{-1}\)"はそれがどちらのグループ（群）内にてインバース（逆）であるかを指定することなく使われる。
