723: グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）

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グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$で、オペレーター$\cdot$を持つもの
$\ast \tilde{G}$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$で、セット（集合）としては$=G$で、オペレーター$\ast$を持つもの
//

コンディションたち: $\mathrm{\forall }{p}_1,p_2\in \tilde{G}(p_1\ast p_2=p_2\cdot p_1)$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$で、オペレーター$\cdot$を持つものに対して、グループ（群）$\tilde{G}$、それは、セット（集合）としては$G$を持ち、オペレーターとしては以下を満たす$\ast$、つまり、各$\mathrm{\forall }{p}_1,p_2\in \tilde{G}$に対して、$p_1\ast p_2=p_2\cdot p_1$、を持つもの

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3: 注

$\tilde{G}$は本当にグループ（群）である: 0) 各$p_1,p_2\in \tilde{G}$に対して、$p_1\ast p_2=p_2\cdot p_1\in G=\tilde{G}$; 1) 各要素たち$p_1,p_2,p_3\in \tilde{G}$に対して、$(p_1\ast p_2)\ast p_3=p_3\cdot (p_2\cdot p_1)=(p_3\cdot p_2)\cdot p_1=p_1\ast (p_2\ast p_3)$; 2) アイデンティティ（単位）要素$1\in G$が$\tilde{G}$内のアイデンティティ（単位）要素である、なぜなら、各$p\in \tilde{G}$に対して、$1\ast p=p\cdot 1=p=1\cdot p=p\ast 1$、したがって、表記"$1$"は、それがどちらのグループ（群）のアイデンティティ（単位）要素であるかを指定することなく使われる; 3) 各$p\in \tilde{G}$に対して、インバース（逆）$p^{-1}\in G$が、$\tilde{G}$内のインバース（逆）である、なぜなら、$p^{-1}\ast p=p\cdot p^{-1}=1=p^{-1}\cdot p=p\ast p^{-1}$、したがって、表記"$p^{-1}$"はそれがどちらのグループ（群）内にてインバース（逆）であるかを指定することなく使われる。

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参考資料

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