724: グループ（群）はグループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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グループ（群）はグループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）は当該グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $=\{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$で、オペレーター$\cdot$を持つもの
$\tilde{G}$: $=G\text{ のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群） }$で、オペレーター$\ast$を持つもの
$f$: $:G\to \tilde{G},p\mapsto p^{-1}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G{\cong }_f\tilde{G}$、ここで、$\cong$は、$f$によって'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを表わす
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$で、オペレーター$\cdot$を持つもの、$G$のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）$\tilde{G}$で、オペレーター$\ast$を持つものに対して、$G{\cong }_f\tilde{G}$、ここで、$\cong$は、$f$によって'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることを表わす、ここで、$f:G\to \tilde{G},p\mapsto p^{-1}$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ2: $f$はグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

注意として、$p^{-1}$は、$G$内および$\tilde{G}$内の両方で$p$のインバース（逆）である、グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義に対する"注"内で示されているとおり。

ステップ1:

$f$はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。

$p_1,p_2\in G$は以下を満たす任意のもの、つまり、$p_1\ne p_2$、としよう。$f(p_1)=f(p_2)$であったと仮定しよう。${p_1}^{-1}={p_2}^{-1}$。$p_1\cdot {p_1}^{-1}\cdot p_2=p_1\cdot {p_2}^{-1}\cdot p_2$。$p_2=p_1$、矛盾。したがって、$f(p_1)\ne f(p_2)$。したがって、$f$はインジェクティブ（単射）である。

$p\in \tilde{G}$は任意のものであるとしよう。$p^{-1}\in G$、そして、$f(p^{-1})=p$。したがって、$f$はサージェクティブ（全射）である。

ステップ2:

$p_1,p_2\in G$は任意のものであるとしよう。$f(p_1\cdot p_2)=(p_2\ast p_1{)}^{-1}={p_1}^{-1}\ast {p_2}^{-1}=f(p_1)\ast f(p_2)$。

したがって、$f$はグループ（群）ホモモーフィック（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

ステップ3:

$f$は、'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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