2024年8月11日日曜日

724: グループ(群)はグループ(群)のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群)へ'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィック(同形写像)である

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グループ(群)はグループ(群)のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群)へ'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィック(同形写像)であることの記述/証明

話題


About: グループ(群)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ(群)は当該グループ(群)のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群)へ'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィック(同形写像)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(= \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)で、オペレーター\(\cdot\)を持つもの
\(\widetilde{G}\): \(= G \text{ のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群) }\)で、オペレーター\(*\)を持つもの
\(f\): \(:G \to \widetilde{G}, p \mapsto p^{-1}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(G \cong_f \widetilde{G}\)、ここで、\(\cong\)は、\(f\)によって'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィック(同形写像)であることを表わす
//


2: 自然言語記述


任意のグループ(群)\(G\)で、オペレーター\(\cdot\)を持つもの、\(G\)のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群)\(\widetilde{G}\)で、オペレーター\(*\)を持つものに対して、\(G \cong_f \widetilde{G}\)、ここで、\(\cong\)は、\(f\)によって'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィック(同形写像)であることを表わす、ここで、\(f: G \to \widetilde{G}, p \mapsto p^{-1}\)。


3: 証明


全体戦略: ステップ1: \(f\)はバイジェクティブ(全単射)であることを見る; ステップ2: \(f\)はグループ(群)ホモモーフィック(準同形写像)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

注意として、\(p^{-1}\)は、\(G\)内および\(\widetilde{G}\)内の両方で\(p\)のインバース(逆)である、グループ(群)のリバースト(逆向きにされた)オペレーターグループ(群)の定義に対する"注"内で示されているとおり。

ステップ1:

\(f\)はバイジェクティブ(全単射)であることを見よう。

\(p_1, p_2 \in G\)は以下を満たす任意のもの、つまり、\(p_1 \neq p_2\)、としよう。\(f (p_1) = f (p_2)\)であったと仮定しよう。\({p_1}^{-1} = {p_2}^{-1}\)。\(p_1 \cdot {p_1}^{-1} \cdot p_2 = p_1 \cdot {p_2}^{-1} \cdot p_2\)。\(p_2 = p_1\)、矛盾。したがって、\(f (p_1) \neq f (p_2)\)。したがって、\(f\)はインジェクティブ(単射)である。

\(p \in \widetilde{G}\)は任意のものであるとしよう。\(p^{-1} \in G\)、そして、\(f (p^{-1}) = p\)。したがって、\(f\)はサージェクティブ(全射)である。

ステップ2:

\(p_1, p_2 \in G\)は任意のものであるとしよう。\(f (p_1 \cdot p_2) = (p_2 * p_1)^{-1} = {p_1}^{-1} * {p_2}^{-1} = f (p_1) * f (p_2)\)。

したがって、\(f\)はグループ(群)ホモモーフィック(準同形写像)である、任意のグループ(群)たち間の任意のマップ(写像)で任意の2要素たちのプロダクト(積)を当該要素たちのイメージ(像)たちのプロダクト(積)へマップするものはグループ(群) ホモモーフィズム(準同形写像)であるという命題によって。

ステップ3:

\(f\)は、'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィズム(同形写像)である、任意のバイジェクティブ(全単射)グループ(群)ホモモーフィズム(準同形写像)は'グループ(群)たち - ホモモーフィズム(準同形写像)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であるという命題によって。


参考資料


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