786: アーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って

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アーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、アーベリアングループ（アーベル群）の定義を知っている。
• 読者は、シンプルグループ（単純群）の定義を知っている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアーベリアングループ（群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのアーベリアングループ（アーベル群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G\in \{\text{ 全てのシンプルグループ（単純群）たち }\}$
$⟺$
$|G|=p$、ここで、$p\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のアーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、オーダー $|G|$がプライムナンバー（素数）$p$である場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $G$はシンプルグループ（単純群）であると仮定し、任意の要素$g\in G\setminus \{1\}$および$g$によって生成されたサブグループ（部分群）$(g)$を取り、$(g)=G$であることを見る; ステップ2:$g^2=1$である時、$|G|=2$であることを見る、そうでない場合、$(g^2)$を取り、$(g^2)=G=(g)$であることを見る; ステップ3: ステップ1およびステップ2は$|G|$がファイナイト（有限）であることを含意することを見る; ステップ4: $|G|=pk$、あるプライムナンバー（素数）$p$に対して、とし、$k=1$であることを見る; ステップ5: $|G|=p$、あるプライムナンバー（素数）$p$に対して、と仮定し、そのサブグループ（部分群）たちは$\{1\}$および$G$だけであることを見る。

ステップ1:

$G$はシンプルグループ（単純群）であると仮定しよう。

任意の要素$g\in G\setminus \{1\}$および$g$によって生成されたサブグループ（部分群）$(g)=\{g^{\prime }\in G|g^{\prime }=g^z,z\in \mathbb{Z}\}$を取ろう。.

$(g)$は実際にサブグループ（部分群）である: $g^z{g}^{z^{\prime }}=g^{z+z^{\prime }}\in (g)$; $g^0=1\in (g)$; 各$g^z\in (g)$に対して、$g^z{g}^{-z}=g^{-z}{g}^z=g^0=1$。

$(g)$はノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、任意のアーベリアングループ（アーベル群）の各サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である。

したがって、$(g)=G$、なぜなら、$G$はシンプルである（明らかに、$G\ne \{1\}$）。

ステップ2:

$g^2=1$である時、$G=\{1,g\}$、そして、$|G|=2$、それはプライムナンバー（素数）である。

そうでないと仮定しよう、これ以降。

$(g^2)$を取ろう、それは、$G$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、前と同様に、なぜなら、$g$の代わりに$g^2$を取っただけだから。

$(g^2)=G$、前と同様。

ステップ3:

$G=(g)=(g^2)$は、$|G|$がファイナイト（有限）であることを含意する、ことを見よう。

以下を満たすある$z^{\prime }$、つまり、$g=g^{2z^{\prime }}$、がある。

$1=g{g}^{-1}=g^{2z^{\prime }}{g}^{-1}=g^{2z^{\prime }-1}$。$2z^{\prime }-1\ne 0$、なぜなら、それは奇数である。$0<2z^{\prime }-1$である時、$n:=2z^{\prime }-1$としよう; そうでない場合、$0<-(2z^{\prime }-1)$、そして、$n:=-(2z^{\prime }-1)$としよう。いずれにせよ、$g^n=1$、なぜなら、$1=1^{-1}=(g^{2z^{\prime }-1}{)}^{-1}=g^{-(2z^{\prime }-1)}$。$n\ne 1$、なぜなら、$g^1=g\ne 1$。$g^{-1}=g^{n-1}$、なぜなら、$g{g}^{n-1}=g^{n-1}g=g^n=1$。

したがって、$(g)$の各要素は、$\{1,g,...,g^{n-1}\}$の中の1つに等しい（当該セット（集合）中には重複があるかもしれない）、なぜなら、各$z\in \mathbb{Z}$に対して、$z=nk+l$、ここで、$0\le l<n$、そして、$g^z=g^{nk+l}=g^{nk}{g}^l=(g^n{)}^k{g}^l=1^k{g}^l=g^l$。

したがって、$|G|=|(g)|$はファイナイト（有限）である。

ステップ4:

$|G|$のプライムファクタリゼーション（素因数分解）を取ろう。$1<|G|$であるから、少なくとも1つの以下を満たすプライムナンバー（素数）$p$、つまり、$|G|=pk$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、がある。

As $G=(g)$, $G=\{1,g,...,g^{pk-1}\}$ where $g^{pk}=1$. $G=(g)$であるから、$G=\{1,g,...,g^{pk-1}\}$、ここで、$g^{pk}=1$。

$(g^p)$を取ろう。$g^{pk}=1$であるから、$(g^p)=\{1,g^p,...,g^{p(k-1)}\}$。

$(g^p)$は前と同様ノーマルサブグループ（正規部分群）であり$G$はシンプルであるから、$(g^p)$は$\{1\}$または$G$である。しかし、それは$G$ではあり得ない、なぜなら、少なくとも$g,...,g^{p-1}$たちがそこには欠けている。したがって、$(g^p)=\{1\}$。それが意味するのは、$k=1$。

したがって、$|G|=p$。

ステップ5:

$|G|=p$、あるプライムナンバー（素数）$p$に対して、と仮定しよう。

ラグランジュの定理によって、$G$の可能なサブグループ（部分群）たちはオーダー$1$または$p$を持つ。したがって、$G$のサブグループ（部分群）たちは$\{1\}$および$G$だけである。$G$のノーマルサブグループ（正規部分群）たちは、なおさら$\{1\}$および$G$である。

したがって、$G$はシンプルである。

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参考資料

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