グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq G'\)
\(*(S)\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(S \subseteq (S)\)
\(\land\)
\(\lnot \exists G \in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\} (S \subseteq G \land G \subset (S))\)
//
言い換えると、\((S)\)は\(S\)を包含する最小サブグループ（部分群）である。
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G'\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq G'\)に対して、\(S\)を包含する最小サブグループ（部分群）\((S)\)
3: 注
\((S)\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義されている）である（ユニークに存在する）、なぜなら、それは、\(S\)を包含する全てのサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）である: \(S\)を包含する少なくとも1つのサブグループ（部分群）\(G'\)がある; 当該インターセクション（共通集合）は本当に\(S\)を包含するある最小サブグループ（部分群）である、なぜなら、それは\(S\)を包含し、任意のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）であり、それは最小である、なぜなら、それは\(S\)を包含する任意のサブグループ（部分群）内に包含されている; 当該インターセクション（共通集合）は本当に\(S\)を包含するユニークな最小サブグループ（部分集合）である、なぜなら、もしも、\(S\)を包含する別の最小サブグループ（部分集合）があったら、それは当該インターセクション（共通集合）の構成要素たち内に含まれていることになり、当該インターセクション（共通集合）は別の最小サブグループ（部分群）より小さいかそれに等しいことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が別の最小サブグループ（部分群）より小さかったら、別の最小サブグループ（部分群）は実のところ最小ではなかったことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が別の最小サブグループ（部分群）に等しかったら、別の最小サブグループ（部分群）は実のところ"別"ではなかったことになる。
\(S \neq \emptyset\)である時、\((S)\)は、\(S\)の要素たちとそれらのインバース（逆）たちの全てのファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）たちのセット（集合）である、それは、'グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）'の別の定義になり得る。
それはなぜかと言うと、当該セット（集合）は\(S\)を包含している; 当該セット（集合）の各要素は\((S)\)内に包含されている、なぜなら、\((S)\)はグループ（群）である; 当該セット（集合）は本当にグループ（群）を構成する、なぜなら、それは、マルチプリケーション（積）たちに関して閉じている、\(g g^{-1} = 1\)はその中に包含されている、当該セット（集合）内の各\(g_1 ... g_k\)に対して、インバース（逆）\(g_k^{-1} ... g_1^{-1}\)は当該セット（集合）内にいる、したがって、当該セット（集合）は、\(S\)を包含するサブグループ（部分群）で、\((S)\)より小さいかそれに等しいものである、しかし、当該セット（集合）はより小さいわけはない、なぜなら、\((S)\)が最小である、したがって、当該セット（集合）は\((S)\)に等しい。
\(S = \emptyset\)である時、\((S) = \{1\}\)。
\(S = \{g\}\)である時、\((S)\)は通常\((g)\)と記される。
