787: グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）

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グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$S$: $\subseteq G^{\prime }$
$\ast (S)$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
//

コンディションたち:
$S\subseteq (S)$
$\wedge$
$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }G\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}(S\subseteq G\wedge G\subset (S))$
//

言い換えると、$(S)$は$S$を包含する最小サブグループ（部分群）である。

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G^{\prime }$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq G^{\prime }$に対して、$S$を包含する最小サブグループ（部分群）$(S)$

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3: 注

$(S)$は本当にウェルデファインド（妥当に定義されている）である（ユニークに存在する）、なぜなら、それは、$S$を包含する全てのサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）である: $S$を包含する少なくとも1つのサブグループ（部分群）$G^{\prime }$がある; 当該インターセクション（共通集合）は本当に$S$を包含するある最小サブグループ（部分群）である、なぜなら、それは$S$を包含し、任意のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）であり、それは最小である、なぜなら、それは$S$を包含する任意のサブグループ（部分群）内に包含されている; 当該インターセクション（共通集合）は本当に$S$を包含するユニークな最小サブグループ（部分集合）である、なぜなら、もしも、$S$を包含する別の最小サブグループ（部分集合）があったら、それは当該インターセクション（共通集合）の構成要素たち内に含まれていることになり、当該インターセクション（共通集合）は別の最小サブグループ（部分群）より小さいかそれに等しいことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が別の最小サブグループ（部分群）より小さかったら、別の最小サブグループ（部分群）は実のところ最小ではなかったことになり、もしも、当該インターセクション（共通集合）が別の最小サブグループ（部分群）に等しかったら、別の最小サブグループ（部分群）は実のところ"別"ではなかったことになる。

$S\ne \mathrm{\varnothing }$である時、$(S)$は、$S$の要素たちとそれらのインバース（逆）たちの全てのファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）たちのセット（集合）である、それは、'グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）'の別の定義になり得る。

それはなぜかと言うと、当該セット（集合）は$S$を包含している; 当該セット（集合）の各要素は$(S)$内に包含されている、なぜなら、$(S)$はグループ（群）である; 当該セット（集合）は本当にグループ（群）を構成する、なぜなら、それは、マルチプリケーション（積）たちに関して閉じている、$g{g}^{-1}=1$はその中に包含されている、当該セット（集合）内の各$g_1...g_k$に対して、インバース（逆）$g_k^{-1}...g_1^{-1}$は当該セット（集合）内にいる、したがって、当該セット（集合）は、$S$を包含するサブグループ（部分群）で、$(S)$より小さいかそれに等しいものである、しかし、当該セット（集合）はより小さいわけはない、なぜなら、$(S)$が最小である、したがって、当該セット（集合）は$(S)$に等しい。

$S=\mathrm{\varnothing }$である時、$(S)=\{1\}$。

$S=\{g\}$である時、$(S)$は通常$(g)$と記される。

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参考資料

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