769: トポロジカルスペース（空間）上のカーブ

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トポロジカルスペース（空間）上のカーブの定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のカーブの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$J$: $\in \{\mathbb{R}\text{ 上の全てのインターバル（区間）たち }\}$、$\mathbb{R}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）として
$\ast \gamma$: $:J\to T$, $\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）$\mathbb{R}$、$\mathbb{R}$上の任意のインターバル（区間）$J\subseteq \mathbb{R}$、$\mathbb{R}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）として、に対して、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$\gamma :J\to T$

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3: 注

$J$はオープンインターバル（開区間）である必要はない: $J$は、あるオープンインターバル（開区間）$(t_0,t_1)$、あるクローズドインターバル（閉空間）$[t_0,t_1]$、ある下オープン（開）上クローズド（閉）インターバル（区間）$(t_0,t_1]$、ある下クローズド（閉）上オープン（開）インターバル（区間）$[t_0,t_1)$であり得る。

$J$がオープンインターバル（開区間）であるように要求しないことは、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上で使用されるために重要である、なぜなら、あるバウンダリー（境界）ポイントからスタートするあるカーブは、ハーフクローズドインターバル（半閉区間）を持つ必要があるかもしれない。

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参考資料

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