\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、\(C^\infty\)カーブのポイントにおけるベロシティの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、\(C^\infty\)カーブのポイントにおけるベロシティの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{ \text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き } \}\)
\( \mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\( J\): \(= (t_1, t_2) \text{ 、または } [t_1, t_2] \text{ 、または } (t_1, t_2] \text{ 、または } [t_1, t_2) \subseteq \mathbb{R}\)、で、\(t_1 \lt t_2\)を満たすもの、\(\mathbb{R}\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として
\( t_0\): \(\in J\)
\( \gamma\): \(: J \to M\), \(\in \{\text{ 全てのカーブたち }\} \cap \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\( d / d t \vert_{t_0}\): \(\in T_{t_0}J\), \(: C^\infty (J) \to \mathbb{R}, f \mapsto d \tilde{f} / d t \vert_{t_0}\)、ここで、\(\tilde{f}\)は、\(f\)の、\(t_0\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_0} \subseteq \mathbb{R}\)上における任意のエクステンション（拡張）である
\(*d \gamma (d / d t \vert_{t_0})\): \(\in T_{\gamma (t_0)}M\)
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コンディションたち:
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2: 自然言語記述1
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(M\)、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{R}\)上の任意のインターバル（区間）\(J = (t_1, t_2) \text{ 、または } [t_1, t_2] \text{ 、または } (t_1, t_2] \text{ 、または } [t_1, t_2)\)、つまり、\(t_1 \lt t_2\)、\(\mathbb{R}\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として、任意の\(t_0 \in J\)、任意の\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: J \to M\)、タンジェントベクトル\( d / d t \vert_{t_0}: C^\infty (J) \to \mathbb{R}, f \mapsto d \tilde{f} / d t \vert_{t_0} \in T_{t_0}J \)、ここで、\(\tilde{f}\)は、\(f\)の、\(t_0\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_0} \subseteq \mathbb{R}\)上における任意のエクステンション（拡張）である、に対して、\(d \gamma (d / d t \vert_{t_0}) \in T_{\gamma (t_0)}M\)
3: 注
私たちが\(\tilde{f}\)を導入しないといけない理由は、\(t_0\)においてデリバティブ（微分係数）を取ることは、当該ファンクション（関数）が\(t_0\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_0} \subseteq \mathbb{R}\)上で定義されていることを要求するが、\(U_{t_0} \subseteq J\)であるような\(U_{t_0}\)はないかもしれない、\(J = [t_1, t_2]\)かつ\(t_0 = t_1\)であるようなケースたちでは。
\(d / d t \vert_{t_0}\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である（\(\tilde{f}\)の選択に依存しない）: \(U_{t_0}\)が\(U_{t_0} \subseteq J\)であるように取れる時には、\(\tilde{f} = f \vert_{U_{t_0}}\)であり、\(d \tilde{f} / d t \vert_{t_0}\)は\(f\)だけに依存する; その他の時は、\(t_0 = t_1\)、ここで、\(t_1\)はクローズドバウンダリー（閉境界）、または、\(t_0 = t_2\)、ここで、\(t_2\)はクローズドバウンダリー（閉境界）、であり、前者に対しては、\(U_{t_0} = (t_0 - \delta_1, t_0 + \delta_2)\)、ここで、\(\delta_2\)は\(t_0 + \delta_2 \lt t_2\)であるように取れる、そして、\(\tilde{f} \vert_{[t_0, t_0 + \delta_2)} = f \vert_{[t_0, t_0 + \delta_2)}\)、しかし、\(d \tilde{f} / d t \vert_{t_0} = lim_{t \mapsto + t_0} (\tilde{f} (t) - \tilde{f} (t_0)) / (t - t_0) = lim_{t \mapsto + t_0} (f (t) - f (t_0)) / (t - t_0)\)、それは\(f\)だけに依存する、そして後者に対しては、\(U_{t_0} = (t_0 - \delta_1, t_0 + \delta_2)\)、ここで、\(\delta_1\)は\(t_1 \lt t_0 - \delta_1\)であるように取れる、そして、\(\tilde{f} \vert_{(t_0 - \delta_1, t_0]} = f \vert_{(t_0 - \delta_1, t_0]}\)、しかし。\(d \tilde{f} / d t \vert_{t_0} = lim_{t \mapsto - t_0} (\tilde{f} (t) - \tilde{f} (t_0)) / (t - t_0) = lim_{t \mapsto - t_0} (f (t) - f (t_0)) / (t - t_0)\)、それは\(f\)だけに依存する。
\(d / d t \vert_{t_0}\)は本当にタンジェントベクトルである: \(d / d t \vert_{t_0} (r f) = d \widetilde{r f} / d t \vert_{t_0} = d (r \tilde{f}) / d t \vert_{t_0} = r d \tilde{f} / d t \vert_{t_0} = r d / d t \vert_{t_0} (f)\); \(d / d t \vert_{t_0} (f_1 f_2) = d \widetilde{f_1 f_2} / d t \vert_{t_0} = d (\tilde{f_1} \tilde{f_2}) / d t \vert_{t_0} = d \tilde{f_1} / d t \vert_{t_0} \tilde{f_2} (t_0) + \tilde{f_1} (t_0) d \tilde{f_2} / d t \vert_{t_0} = d / d t \vert_{t_0} (f_1) f_2 (t_0) + f_1 (t_0) d / d t \vert_{t_0} (f_2)\)。
本定義の1つの教訓は、ベロシティーは大抵あるオープンインターバルからのあるカーブから取られるが、私たちは、\([t_0, t_2)\)または\((t_1, t_0]\)からのあるカーブを取ることができ、それは、実のところ、必要であるかもしれない、\(M\)は任意の非空バウンダリー（境界）を持ち、\(\gamma (t_0)\)が当該バウンダリー（境界）上にある時は、また、\(\gamma (t_0)\)がバウンダリー（境界）上になかったり\(M\)が空のバウンダリー（境界）を持つ時も、非オープン（開）インターバル（区間）を私たちが取れないという理由は何もない。
関連記事任意のカーブの任意のクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるかがある。
