770: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、C∞カーブのポイントにおけるベロシティ

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのポイントにおけるベロシティの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述1
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のカーブの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのポイントにおけるベロシティの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$\mathbb{R}$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
$J$: $=(t_1,t_2)\text{ 、または }[t_1,t_2]\text{ 、または }(t_1,t_2]\text{ 、または }[t_1,t_2)\subseteq \mathbb{R}$、で、$t_1<t_2$を満たすもの、$\mathbb{R}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として
$t_0$: $\in J$
$\gamma$: $:J\to M$, $\in \{\text{ 全てのカーブたち }\}\cap \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
$d/dt{|}_{t_0}$: $\in T_{t_0}J$, $:C^{\mathrm{\infty }}(J)\to \mathbb{R},f\mapsto d\tilde{f}/dt{|}_{t_0}$、ここで、$\tilde{f}$は、$f$の、$t_0$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_0}\subseteq \mathbb{R}$上における任意のエクステンション（拡張）である
$\ast d\gamma (d/dt{|}_{t_0})$: $\in T_{\gamma (t_0)}M$
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コンディションたち:
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2: 自然言語記述1

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M$、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$\mathbb{R}$、$\mathbb{R}$上の任意のインターバル（区間）$J=(t_1,t_2)\text{ 、または }[t_1,t_2]\text{ 、または }(t_1,t_2]\text{ 、または }[t_1,t_2)$、つまり、$t_1<t_2$、$\mathbb{R}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、として、任意の$t_0\in J$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$\gamma :J\to M$、タンジェントベクトル$d/dt{|}_{t_0}:C^{\mathrm{\infty }}(J)\to \mathbb{R},f\mapsto d\tilde{f}/dt{|}_{t_0}\in T_{t_0}J$、ここで、$\tilde{f}$は、$f$の、$t_0$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_0}\subseteq \mathbb{R}$上における任意のエクステンション（拡張）である、に対して、$d\gamma (d/dt{|}_{t_0})\in T_{\gamma (t_0)}M$

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3: 注

私たちが$\tilde{f}$を導入しないといけない理由は、$t_0$においてデリバティブ（微分係数）を取ることは、当該ファンクション（関数）が$t_0$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{t_0}\subseteq \mathbb{R}$上で定義されていることを要求するが、$U_{t_0}\subseteq J$であるような$U_{t_0}$はないかもしれない、$J=[t_1,t_2]$かつ$t_0=t_1$であるようなケースたちでは。

$d/dt{|}_{t_0}$はウェルデファインド（妥当に定義されている）である（$\tilde{f}$の選択に依存しない）: $U_{t_0}$が$U_{t_0}\subseteq J$であるように取れる時には、$\tilde{f}=f{|}_{U_{t_0}}$であり、$d\tilde{f}/dt{|}_{t_0}$は$f$だけに依存する; その他の時は、$t_0=t_1$、ここで、$t_1$はクローズドバウンダリー（閉境界）、または、$t_0=t_2$、ここで、$t_2$はクローズドバウンダリー（閉境界）、であり、前者に対しては、$U_{t_0}=(t_0-{\delta }_1,t_0+{\delta }_2)$、ここで、${\delta }_2$は$t_0+{\delta }_2<t_2$であるように取れる、そして、$\tilde{f}{|}_{[t_0,t_0+{\delta }_2)}=f{|}_{[t_0,t_0+{\delta }_2)}$、しかし、$d\tilde{f}/dt{|}_{t_0}=li{m}_{t\mapsto +t_0}(\tilde{f}(t)-\tilde{f}(t_0))/(t-t_0)=li{m}_{t\mapsto +t_0}(f(t)-f(t_0))/(t-t_0)$、それは$f$だけに依存する、そして後者に対しては、$U_{t_0}=(t_0-{\delta }_1,t_0+{\delta }_2)$、ここで、${\delta }_1$は$t_1<t_0-{\delta }_1$であるように取れる、そして、$\tilde{f}{|}_{(t_0-{\delta }_1,t_0]}=f{|}_{(t_0-{\delta }_1,t_0]}$、しかし。$d\tilde{f}/dt{|}_{t_0}=li{m}_{t\mapsto -t_0}(\tilde{f}(t)-\tilde{f}(t_0))/(t-t_0)=li{m}_{t\mapsto -t_0}(f(t)-f(t_0))/(t-t_0)$、それは$f$だけに依存する。

$d/dt{|}_{t_0}$は本当にタンジェントベクトルである: $d/dt{|}_{t_0}(rf)=d\widetilde{rf}/dt{|}_{t_0}=d(r\tilde{f})/dt{|}_{t_0}=rd\tilde{f}/dt{|}_{t_0}=rd/dt{|}_{t_0}(f)$; $d/dt{|}_{t_0}(f_1{f}_2)=d\widetilde{f_1{f}_2}/dt{|}_{t_0}=d(\widetilde{f_1}\widetilde{f_2})/dt{|}_{t_0}=d\widetilde{f_1}/dt{|}_{t_0}\widetilde{f_2}(t_0)+\widetilde{f_1}(t_0)d\widetilde{f_2}/dt{|}_{t_0}=d/dt{|}_{t_0}(f_1)f_2(t_0)+f_1(t_0)d/dt{|}_{t_0}(f_2)$。

本定義の1つの教訓は、ベロシティーは大抵あるオープンインターバルからのあるカーブから取られるが、私たちは、$[t_0,t_2)$または$(t_1,t_0]$からのあるカーブを取ることができ、それは、実のところ、必要であるかもしれない、$M$は任意の非空バウンダリー（境界）を持ち、$\gamma (t_0)$が当該バウンダリー（境界）上にある時は、また、$\gamma (t_0)$がバウンダリー（境界）上になかったり$M$が空のバウンダリー（境界）を持つ時も、非オープン（開）インターバル（区間）を私たちが取れないという理由は何もない。

関連記事任意のカーブの任意のクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるかがある。

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参考資料

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