782: C∞マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のC∞ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方でC∞である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{d}^{\prime }\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$V$: $:M\to TM$, $\in \mathrm{\Gamma }(TM)$
$\iota$: $:M\to M^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$d\iota$: $:TM\to T{M}^{\prime }$, $=\text{ 当該ディファレンシャル }$
$d\iota \circ V$: $:M\to T{M}^{\prime }$
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ステートメント（言明）たち:
$d\iota \circ V\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d^{\prime }$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M^{\prime }$、$M^{\prime }$の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き$M$、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド$V:M\to TM$、インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$、ディファレンシャル$d\iota :TM\to T{M}^{\prime }$、$d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$に対して、$d\iota \circ V$ is $C^{\mathrm{\infty }}$。

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3: 注

"$V$のディファレンシャル"は通常人々に$M^{\prime }$上方のベクトルたちフィールド（それは妥当でない、$\iota$はディフェオモーフィックでないから）を想像させるが、私たちはそれについて話しているのではない。

それにもかかわらず、$d\iota$は妥当である、なぜなら、$\iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。

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4: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$m\in M$の周りに、あるアダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$および対応するアダプティングチャート$(U_m:=U_m^{\prime }\cap M\subseteq M,{\varphi }_m:={\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m})$を取る; ステップ2: $V$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるというのは何であるのかを、$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$に関して見る; ステップ3: $d\iota \circ V$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるというのは何であるかを、$(U_m^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$に関して見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$m\in M$は任意のものとしよう。

$M$は$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）たち、バウンダリー（境界）付き、であるので、あるアダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$がある、$M$に対して。

対応するアダプティングチャート$(U_m:=U_m^{\prime }\cap M\subseteq M,{\varphi }_m:={\pi }_J\circ {\varphi }_m^{\prime }{|}_{U_m})$、ここで、${\pi }_J:{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\to {\mathbb{R}}^d$は$J\subseteq \{1,...,d^{\prime }\}$コンポーネントたちを取るプロジェクション（射影）、がある。

ステップ2:

$\pi :TM\to M$および${\pi }^{\prime }:T{M}^{\prime }\to M^{\prime }$と表記しよう。

$TM$および$T{M}^{\prime }$に対して、スタンダードベーシス（基底）たちを用いたインデュースト（誘導された）チャートたち$({\pi }^{-1}(U_m)\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_m})$および$({\pi }^{\prime -1}(U_m^{\prime })\subseteq T{M}^{\prime },\widetilde{{\varphi }_m^{\prime }})$がある。

$V$は$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、$\widetilde{{\varphi }_m}\circ V\circ {{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to \widetilde{{\varphi }_m}({\pi }^{-1}(U_m))$は、${\varphi }_m(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ3:

$d\iota \circ V$は$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かは、$\widetilde{{\varphi }_m^{\prime }}\circ d\iota \circ V\circ {{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to \widetilde{{\varphi }_m^{\prime }}({\pi }^{\prime -1}(U_m^{\prime }))$が${\varphi }_m(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かである。

ステップ4:

$\iota$のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）を$f:={\varphi }_m^{\prime }\circ \iota \circ {{\varphi }_m}^{-1}:{\varphi }_m(U_m)\to {\varphi }_m^{\prime }(U_m^{\prime })$と記そう。

記法たちをシンプルにするために、私たちは、${\varphi }_m^{\prime }$を、$f:(x^1,...,x^d)\mapsto (x^1,...,x^d,0,...,0)$であるように選ぶことができる: 私たちは、${\varphi }_m^{\prime }$のコンポーネントたちを並べ替え、${\varphi }_m^{\prime }$を平行移動すればよい。すると、$j,k\in \{1,...,d\}$に対して$\partial f^k/\partial x^j={\delta }_j^k$でその他の場合$\partial f^k/\partial x^j=0$。

$V$の$({\pi }^{-1}(U_m)\subseteq TM,\widetilde{{\varphi }_m})$に関する$j$番目コンポーネントを$V^j$と記そう。$d\iota \circ V$の$({\pi }^{\prime -1}(U_m^{\prime })\subseteq T{M}^{\prime },\widetilde{{\varphi }_m^{\prime }})$に関する$j$番目コンポーネントを$(d\iota \circ V{)}^j$と記そう。

$\widetilde{{\varphi }_m}\circ V\circ {{\varphi }_m}^{-1}:(x^1,...,x^d)\mapsto (x^1,...,x^d,V^1,...,V^d)$、それは、${\varphi }_m(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

よく知られているとおり、$(d\iota \circ V{)}^k=\partial f^k/\partial x^j{V}^j$、アインシュタインによる慣習を用いて、それは、各$k\in \{1,...,d\}$に対して$=V^k$でその他の場合$=0$。それが意味するのは、$\widetilde{{\varphi }_m^{\prime }}\circ d\iota \circ V\circ {{\varphi }_m}^{-1}:(x^1,...,x^d)\mapsto (x^1,...,x^d,0,...,0,V^1,...,V^d,0,...,0)$、それは、${\varphi }_m(m)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、明らかに。

したがって、$d\iota \circ V$は$m$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$m\in M$は恣意的なものであるから、$d\iota \circ V$は$M$全体上方で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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