\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{ \text{ 全ての } d' \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}\)
\(V\): \(: M \to TM\), \(\in \Gamma (TM)\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(d \iota\): \(: TM \to TM'\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
\(d \iota \circ V\): \(: M \to TM'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d \iota \circ V \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち } \}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d'\)ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'\)、\(M'\)の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き\(M\)、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド\(V: M \to TM\)、インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)、ディファレンシャル\(d \iota: TM \to TM'\)、\(d \iota \circ V: M \to TM'\)に対して、\(d \iota \circ V\) is \(C^\infty\)。
3: 注
"\(V\)のディファレンシャル"は通常人々に\(M'\)上方のベクトルたちフィールド（それは妥当でない、\(\iota\)はディフェオモーフィックでないから）を想像させるが、私たちはそれについて話しているのではない。
それにもかかわらず、\(d \iota\)は妥当である、なぜなら、\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(m \in M\)の周りに、あるアダプテッドチャート\((U'_m \subseteq M', \phi'_m)\)および対応するアダプティングチャート\((U_m := U'_m \cap M \subseteq M, \phi_m := \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U_m})\)を取る; ステップ2: \(V\)が\(C^\infty\)であるというのは何であるのかを、\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に関して見る; ステップ3: \(d \iota \circ V\)が\(C^\infty\)であるというのは何であるかを、\((U'_m \subseteq M', \phi'_m)\)に関して見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(m \in M\)は任意のものとしよう。
\(M\)は\(M'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）たち、バウンダリー（境界）付き、であるので、あるアダプテッドチャート\((U'_m \subseteq M', \phi'_m)\)がある、\(M\)に対して。
対応するアダプティングチャート\((U_m := U'_m \cap M \subseteq M, \phi_m := \pi_J \circ \phi'_m \vert_{U_m})\)、ここで、\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)は\(J \subseteq \{1, ..., d'\}\)コンポーネントたちを取るプロジェクション（射影）、がある。
ステップ2:
\(\pi: TM \to M\)および\(\pi': TM' \to M'\)と表記しよう。
\(TM\)および\(TM'\)に対して、スタンダードベーシス（基底）たちを用いたインデュースト（誘導された）チャートたち\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)および\((\pi'^{-1} (U'_m) \subseteq TM', \widetilde{\phi'_m})\)がある。
\(V\)は\(m\)において\(C^\infty\)であるから、\(\widetilde{\phi_m} \circ V \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m))\)は、\(\phi_m (m)\)において\(C^\infty\)である。
ステップ3:
\(d \iota \circ V\)は\(m\)において\(C^\infty\)であるか否かは、\(\widetilde{\phi'_m} \circ d \iota \circ V \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \widetilde{\phi'_m} (\pi'^{-1} (U'_m))\)が\(\phi_m (m)\)において\(C^\infty\)であるか否かである。
ステップ4:
\(\iota\)のコーディネート（座標）たちファンクション（関数）を\(f := \phi'_m \circ \iota \circ {\phi_m}^{-1}: \phi_m (U_m) \to \phi'_m (U'_m)\)と記そう。
記法たちをシンプルにするために、私たちは、\(\phi'_m\)を、\(f: (x^1, ..., x^d) \mapsto (x^1, ..., x^d, 0, ..., 0)\)であるように選ぶことができる: 私たちは、\(\phi'_m\)のコンポーネントたちを並べ替え、\(\phi'_m\)を平行移動すればよい。すると、\(j, k \in \{1, ..., d\}\)に対して\(\partial f^k / \partial x^j = \delta^k_j\)でその他の場合\(\partial f^k / \partial x^j = 0\)。
\(V\)の\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)に関する\(j\)番目コンポーネントを\(V^j\)と記そう。\(d \iota \circ V\)の\((\pi'^{-1} (U'_m) \subseteq TM', \widetilde{\phi'_m})\)に関する\(j\)番目コンポーネントを\((d \iota \circ V)^j\)と記そう。
\(\widetilde{\phi_m} \circ V \circ {\phi_m}^{-1}: (x^1, ..., x^d) \mapsto (x^1, ..., x^d, V^1, ..., V^d)\)、それは、\(\phi_m (m)\)において\(C^\infty\)である。
よく知られているとおり、\((d \iota \circ V)^k = \partial f^k / \partial x^j V^j\)、アインシュタインによる慣習を用いて、それは、各\(k \in \{1, ..., d\}\)に対して\(= V^k\)でその他の場合\(= 0\)。それが意味するのは、\(\widetilde{\phi'_m} \circ d \iota \circ V \circ {\phi_m}^{-1}: (x^1, ..., x^d) \mapsto (x^1, ..., x^d, 0, ..., 0, V^1, ..., V^d, 0, ..., 0)\)、それは、\(\phi_m (m)\)において\(C^\infty\)である、明らかに。
したがって、\(d \iota \circ V\)は\(m\)において\(C^\infty\)である。
\(m \in M\)は恣意的なものであるから、\(d \iota \circ V\)は\(M\)全体上方で\(C^\infty\)である。
