777: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$\ast M$: $\subseteq M^{\prime }$, $\in \{\text{ 全ての}{C}^{\mathrm{\infty }}\text{マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
//

コンディションたち:
$M$はサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ
$\wedge$
$M$は以下を満たすあるアトラス、つまり、インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である
//

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2: 自然言語記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き$M^{\prime }$に対して、以下を満たす任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き$M\subseteq M^{\prime }$、つまり、サブスペース（部分空間）トポロジーおよび以下を満たすアトラス、つまり、インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、を持つ

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3: 注

本定義は、恣意的な各サブセット（部分集合）$M\subseteq M^{\prime }$に対して、$M$を$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、にするようなあるアトラスが選べるということを意味しない; それが意味するのは、もしも、ある$M$に対してあるアトラスを選ぶことができれば、$M$は（サブスペース（部分空間）トポロジーおよび当該アトラスを持って）、$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるということである。

本定義は、可能なアトラスはユニークであると即座に主張はしない、しかし、実のところ、当該アトラスはユニークである、証明はここでは示されないが。実のところ、当該アトラスは、$M^{\prime }$のアダプテッドチャートたちに対応するアダプティング（スライスともいう）チャートたちを包含する。

'$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き'は'$M^{\prime }$のレギュラーサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き'に等しい、ここで、後者は、スライシングコンディションを満たす任意のサブマニフォールド（部分多様体）として定義されているかもしれない、それら2つの定義が同一のエンティティ（実体）を形成するという証明はここでは示されないが。

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参考資料

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