781: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きはプロパーにエンベッデッドである、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該サブセット（部分集合）から${\mathbb{R}}^n$の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）は、当該スペース（空間）全体へ拡張できる、当該ネイバーフッド（近傍）内にサポートされて、という命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルは、ある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのベロシティーである、特に、あるハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ、という命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのレギュラードメインたち }\}$
$\iota :$: $:M\to M^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$m$: $\in M$
$d{\iota }_m$: $:T_{m}M\to T_m{M}^{\prime }$, $=\text{ 当該ディファレンシャル }$
//

ステートメント（言明）たち:
$d{\iota }_m\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、$M^{\prime }$、任意のレギュラードメイン$M$、インクルージョン（封入）$\iota :M\to M^{\prime }$、任意の$m\in M$、ディファレンシャル$d{\iota }_m:T_{m}M\to T_m{M}^{\prime }$に対して、$d{\iota }_m$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $d{\iota }_m$はインジェクティブ（封入）であることを見る、$d{\iota }_m(v_1)=d{\iota }_m(v_2)$は$v_1=v_2$を含意することを見ることによって; ステップ2: $d{\iota }_m$はサージェクティブ（全射）であることを見る、各$v^{\prime }\in T_m{M}^{\prime }$に対して、$vf=v^{\prime }\tilde{f}$とする$v\in T_{m}M$は$v^{\prime }$へマップされることを見ることによって、ここで、$\tilde{f}$は$f$の$M^{\prime }$上での拡張である; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$d{\iota }_m$はインジェクティブ（単射）であることを見よう。

$v_1,v_2\in T_{m}M$は$v_1\ne v_2$である任意のものたちであるとしよう。

$d{\iota }_m(v_1)=d{\iota }_m(v_2)$であったと仮定しよう。.

$d{\iota }_m(v_1-v_2)=0$。$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$は任意のものとしよう。$M$は$M^{\prime }$上でクローズド（閉）であった、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きはプロパーにエンベッデッドである、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、ので、$f$の on $M^{\prime }$上の以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$拡張$\tilde{f}\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$、つまり、$f=\tilde{f}{|}_M$、があることになる、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該サブセット（部分集合）から${\mathbb{R}}^n$の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）は、当該スペース（空間）全体へ拡張できる、当該ネイバーフッド（近傍）内にサポートされて、という命題によって。$(v_1-v_2)f=(v_1-v_2)\tilde{f}{|}_M=(v_1-v_2)\tilde{f}\circ \iota =d{\iota }_m(v_1-v_2)\tilde{f}=0$、それが含意するのは、$v_1-v_2=0$、したがって、$v_1=v_2$、矛盾。

したがって、$d{\iota }_m(v_1)\ne d{\iota }_m(v_2)$。

ステップ2:

$d{\iota }_m$はサージェクティブ（全射）であることを見よう。

$v^{\prime }\in T_m{M}^{\prime }$は任意のものとしよう。

$v\in T_{m}M$を、各$f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$に対して、$vf=v^{\prime }\tilde{f}$、ここで、$\tilde{f}\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$は$f$の任意の拡張、であるように定義しよう。

$v$はウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを見よう。ある$\tilde{f}$が存在する、前と同様に。$M$は$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるので、あるアダプテッドチャート$(U_m^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_m^{\prime })$を取ろう。$v^{\prime }=v^{\prime j}\partial /\partial x^{\prime j}$は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$\gamma :J\to M^{\prime },t\mapsto {{\varphi }_m^{\prime }}^{-1}(({\varphi }_m^{\prime }(m{)}^1+v^{\prime 1}(t-t_0),...,{\varphi }_m^{\prime }(m{)}^d+v^{\prime d}(t-t_0)))$、ここで、$J=[t_0,t_2)\text{ または }(t_1,t_0]$、$0\le v^{\prime d}$または$v^{\prime d}<0$によって、のベロシティーである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルは、ある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブのベロシティーである、特に、あるハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ、という命題によって。$0\le v^{\prime d}(t-t_0)$、それが意味するのは、$\gamma$は$M$の中へのものであるということ、であるので、$v^{\prime }\tilde{f}=d\gamma (d/dt{|}_{t_0})\tilde{f}=d/dt{|}_{t_0}(\tilde{f}\circ \gamma )$、それは、片側デリバティブ（微分係数）である、$=d/dt{|}_{t_0}(\tilde{f}{|}_M\circ \gamma )=d/dt{|}_{t_0}(f\circ \gamma )$、それは、$\tilde{f}$の選択に依存しない。

$v$は本当にデリベーションであることを見よう。

$v(rf)=v^{\prime }\widetilde{rf}=v^{\prime }(r\tilde{f})=r{v}^{\prime }\tilde{f}=rvf$. $v(f_1{f}_2)=v^{\prime }(\widetilde{f_1{f}_2})=v^{\prime }(\widetilde{f_1}\widetilde{f_2})=(v^{\prime }\widetilde{f_1})\widetilde{f_2}(m)+\widetilde{f_1}(m)v^{\prime }\widetilde{f_2}=(v{f}_1)f_2(m)+f_1(m)v{f}_2$。

したがって、$v$は本当にデリベーションである。

Let us see that $d{\iota }_{m}v=v^{\prime }$. $d{\iota }_{m}v=v^{\prime }$であることを見よう。

各$f^{\prime }\in C^{\mathrm{\infty }}(M^{\prime })$に対して、$d{\iota }_{m}v(f^{\prime })=v(f^{\prime }\circ \iota )=v^{\prime }\widetilde{f^{\prime }\circ \iota }$、しかし、$f^{\prime }$は$f^{\prime }\circ \iota$のある$C^{\mathrm{\infty }}$拡張である、したがって、 $=v^{\prime }{f}^{\prime }$。

したがって、$d{\iota }_{m}v=v^{\prime }$。

ステップ3:

$d{\iota }_m$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、 任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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