\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きはプロパーにエンベッデッドである、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該サブセット（部分集合）から\(\mathbb{R}^n\)の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）は、当該スペース（空間）全体へ拡張できる、当該ネイバーフッド（近傍）内にサポートされて、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルは、ある\(C^\infty\)カーブのベロシティーである、特に、あるハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ、という命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{ \text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち、バウンダリー（境界）付き } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てのレギュラードメインたち }\}\)
\(\iota:\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(m\): \(\in M\)
\(d \iota_m\): \(: T_mM \to T_mM'\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(d \iota_m \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(M'\)、任意のレギュラードメイン\(M\)、インクルージョン（封入）\(\iota: M \to M'\)、任意の\(m \in M\)、ディファレンシャル\(d \iota_m: T_mM \to T_mM'\)に対して、\(d \iota_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d \iota_m\)はインジェクティブ（封入）であることを見る、\(d \iota_m (v_1) = d \iota_m (v_2)\)は\(v_1 = v_2\)を含意することを見ることによって; ステップ2: \(d \iota_m\)はサージェクティブ（全射）であることを見る、各\(v' \in T_mM'\)に対して、\(v f = v' \tilde{f}\)とする\(v \in T_mM\)は\(v'\)へマップされることを見ることによって、ここで、\(\tilde{f}\)は\(f\)の\(M'\)上での拡張である; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(d \iota_m\)はインジェクティブ（単射）であることを見よう。
\(v_1, v_2 \in T_mM\)は\(v_1 \neq v_2\)である任意のものたちであるとしよう。
\(d \iota_m (v_1) = d \iota_m (v_2)\)であったと仮定しよう。.
\(d \iota_m (v_1 - v_2) = 0\)。\(f \in C^\infty (M)\)は任意のものとしよう。\(M\)は\(M'\)上でクローズド（閉）であった、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きはプロパーにエンベッデッドである、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって、ので、\(f\)の on \(M'\)上の以下を満たすある\(C^\infty\)拡張\(\tilde{f} \in C^\infty (M')\)、つまり、\(f = \tilde{f} \vert_M\)、があることになる、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、当該サブセット（部分集合）から\(\mathbb{R}^n\)の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）は、当該スペース（空間）全体へ拡張できる、当該ネイバーフッド（近傍）内にサポートされて、という命題によって。\((v_1 - v_2) f = (v_1 - v_2) \tilde{f} \vert_M = (v_1 - v_2) \tilde{f} \circ \iota = d \iota_m (v_1 - v_2) \tilde{f} = 0\)、それが含意するのは、\(v_1 - v_2 = 0\)、したがって、\(v_1 = v_2\)、矛盾。
したがって、\(d \iota_m (v_1) \neq d \iota_m (v_2)\)。
ステップ2:
\(d \iota_m\)はサージェクティブ（全射）であることを見よう。
\(v' \in T_mM'\)は任意のものとしよう。
\(v \in T_mM\)を、各\(f \in C^\infty (M)\)に対して、\(v f = v' \tilde{f}\)、ここで、\(\tilde{f} \in C^\infty (M')\)は\(f\)の任意の拡張、であるように定義しよう。
\(v\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを見よう。ある\(\tilde{f}\)が存在する、前と同様に。\(M\)は\(M'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるので、あるアダプテッドチャート\((U'_m \subseteq M', \phi'_m)\)を取ろう。\(v' = v'^j \partial / \partial x'^j\)は、ある\(C^\infty\)カーブ\(\gamma: J \to M', t \mapsto {\phi'_m}^{-1} ((\phi'_m (m)^1 + v'^1 (t - t_0), ..., \phi'_m (m)^d + v'^d (t - t_0)))\)、ここで、\(J = [t_0, t_2) \text{ または } (t_1, t_0]\)、\(0 \le v'^d\)または\(v'^d \lt 0\)によって、のベロシティーである、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の任意のポイントにおける任意のタンジェントベクトルは、ある\(C^\infty\)カーブのベロシティーである、特に、あるハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ、という命題によって。\(0 \le v'^d (t - t_0)\)、それが意味するのは、\(\gamma\)は\(M\)の中へのものであるということ、であるので、\(v' \tilde{f} = d \gamma (d / d t \vert_{t_0}) \tilde{f} = d / d t \vert_{t_0} (\tilde{f} \circ \gamma)\)、それは、片側デリバティブ（微分係数）である、\(= d / d t \vert_{t_0} (\tilde{f} \vert_M \circ \gamma)= d / d t \vert_{t_0} (f \circ \gamma)\)、それは、\(\tilde{f}\)の選択に依存しない。
\(v\)は本当にデリベーションであることを見よう。
\(v (r f) = v' \widetilde{r f} = v' (r \tilde{f}) = r v' \tilde{f} = r v f\). \(v (f_1 f_2) = v' (\widetilde{f_1 f_2}) = v' (\widetilde{f_1} \widetilde{f_2}) = (v' \widetilde{f_1}) \widetilde{f_2} (m) + \widetilde{f_1} (m) v' \widetilde{f_2} = (v f_1) f_2 (m) + f_1 (m) v f_2\)。
したがって、\(v\)は本当にデリベーションである。
Let us see that \(d \iota_m v = v'\). \(d \iota_m v = v'\)であることを見よう。
各\(f' \in C^\infty (M')\)に対して、\(d \iota_m v (f') = v (f' \circ \iota) = v' \widetilde{f' \circ \iota}\)、しかし、\(f'\)は\(f' \circ \iota\)のある\(C^\infty\)拡張である、したがって、 \(= v' f'\)。
したがって、\(d \iota_m v = v'\)。
ステップ3:
\(d \iota_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、 任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
