755: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しない

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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V_1$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V_2$: $\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:V_1\to V_2$, $\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{v}_0\in V_1(f(v_0)\ne 0)$
$⟹$
$\Vert f(v)\Vert /\Vert v\Vert$は0へコンバージ（収束）しない、$\Vert v\in V_1\Vert$が0へ近づく時
//

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2: 自然言語記述

任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち$V_1,V_2$、任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）$f:V_1\to V_2$に対して、$\Vert f(v)\Vert /\Vert v\Vert$は0へコンバージ（収束）しない、$\Vert v\in V_1\Vert$が0へ近づく時。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意のベクトル$v_0\in V_1$、つまり、$f(v_0)\ne 0$、に対して、$r{v}_0$を取り、$r$を0に近づけさせ、それが0へコンバージ（収束）しないことを見る。

ステップ1:

$f$は非ゼロであるので、以下を満たすあるベクトル$v_0\in V_1$、つまり、$f(v_0)\ne 0$、がある。

$v=r{v}_0$と取ろう。$\Vert f(v)\Vert /\Vert v\Vert =\Vert f(r{v}_0)\Vert /\Vert r{v}_0\Vert =\Vert rf(v_0)\Vert /\Vert r{v}_0\Vert =|r|\Vert f(v_0)\Vert /(|r|\Vert v_0\Vert )=\Vert f(v_0)\Vert /\Vert v_0\Vert \ne 0$、それは$0$へ近づかない、$\Vert r{v}_0\Vert$が$0$へ近づく時。勿論、それはあるベクトル$v_1\in V_1$に対して$0$かもしれない、しかし、それは$0$へコンバージ（収束）するとは言われない、$\Vert v\Vert$が$0$へ近づくいかなる様態にてもそれが$0$に近づくのでない限りは。

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参考資料

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