ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニア（線形）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間の任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists v_0 \in V_1 (f (v_0) \neq 0)\)
\(\implies\)
\(\Vert f (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は0へコンバージ（収束）しない、\(\Vert v \in V_1 \Vert\)が0へ近づく時
//
2: 自然言語記述
任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意の非ゼロリニア（線形）マップ（写像）\(f: V_1 \to V_2\)に対して、\(\Vert f (v) \Vert / \Vert v \Vert\)は0へコンバージ（収束）しない、\(\Vert v \in V_1 \Vert\)が0へ近づく時。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たす任意のベクトル\(v_0 \in V_1\)、つまり、\(f (v_0) \neq 0\)、に対して、\(r v_0\)を取り、\(r\)を0に近づけさせ、それが0へコンバージ（収束）しないことを見る。
ステップ1:
\(f\)は非ゼロであるので、以下を満たすあるベクトル\(v_0 \in V_1\)、つまり、\(f (v_0) \neq 0\)、がある。
\(v = r v_0\)と取ろう。\(\Vert f (v) \Vert / \Vert v \Vert = \Vert f (r v_0) \Vert / \Vert r v_0 \Vert = \Vert r f (v_0) \Vert / \Vert r v_0 \Vert = \vert r \vert \Vert f (v_0) \Vert / (\vert r \vert \Vert v_0 \Vert) = \Vert f (v_0) \Vert / \Vert v_0 \Vert \neq 0\)、それは\(0\)へ近づかない、\(\Vert r v_0 \Vert\)が\(0\)へ近づく時。勿論、それはあるベクトル\(v_1 \in V_1\)に対して\(0\)かもしれない、しかし、それは\(0\)へコンバージ（収束）するとは言われない、\(\Vert v \Vert\)が\(0\)へ近づくいかなる様態にてもそれが\(0\)に近づくのでない限りは。
