794: グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけである

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グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけであることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちは当該ナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$g$: $\in G$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(g^n=1\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{n}^{\prime }\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(n^{\prime }<n\wedge g^{n^{\prime }}=1))$
$⟹$
$nz$たち、ここで、$z\in \mathbb{Z}$、が$g^{nz}=1$となる唯一のインテジャー（整数）たちである
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意の要素$g\in G$に対して、もしも、以下を満たすある$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$g^n=1$、があって、以下を満たす$n^{\prime }\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$n^{\prime }<n\wedge g^{n^{\prime }}=1$、がない場合、$nz$たち、ここで、$z\in \mathbb{Z}$、が$g^{nz}=1$となる唯一のインテジャー（整数）たちである。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $g^{nz+k}=1$、ここで、$0\le k<n$、と仮定し、$k=0$であることを見る。

ステップ1:

$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(g^n=1\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }{n}^{\prime }\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(n^{\prime }<n\wedge g^{n^{\prime }}=1))$であると仮定しよう。

$g^{nz+k}=1$、ここで、$0\le k<n$、と仮定しよう。

$g^{nz+k}=g^{nz}{g}^k=(g^n{)}^z{g}^k=1^z{g}^k=g^k=1$。

仮定により、$k=0$。

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4: 注

即座の系として、$g\ne 1$および$g^p=1$、ここで、$p\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$、に対して、以下を満たす$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$n<p\wedge g^n=1$、はない、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす最小$n^{\prime }\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$n^{\prime }\le n\wedge g^{n^{\prime }}=1$（$n^{\prime }$は$n$かもしれない）、があることになり、$n^{\prime }z$が、$g^{n^{\prime }z}=1$を満たす唯一のインテジャー（整数）たちだということになるが、それは、$g^p=1$に矛盾する、なぜなら、$p$は$n^{\prime }z$ではあり得ない: $n^{\prime }\ne 1$。

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参考資料

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