グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけであることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちは当該ナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g\): \(\in G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (g^n = 1 \land \lnot \exists n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (n' \lt n \land g^{n'} = 1))\)
\(\implies\)
\(n z\)たち、ここで、\(z \in \mathbb{Z}\)、が\(g^{n z} = 1\)となる唯一のインテジャー（整数）たちである
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意の要素\(g \in G\)に対して、もしも、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(g^n = 1\)、があって、以下を満たす\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(n' \lt n \land g^{n'} = 1\)、がない場合、\(n z\)たち、ここで、\(z \in \mathbb{Z}\)、が\(g^{n z} = 1\)となる唯一のインテジャー（整数）たちである。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g^{n z + k} = 1\)、ここで、\(0 \le k \lt n\)、と仮定し、\(k = 0\)であることを見る。
ステップ1:
\(\exists n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (g^n = 1 \land \lnot \exists n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (n' \lt n \land g^{n'} = 1))\)であると仮定しよう。
\(g^{n z + k} = 1\)、ここで、\(0 \le k \lt n\)、と仮定しよう。
\(g^{n z + k} = g^{n z} g^k = (g^n)^z g^k = 1^z g^k = g^k = 1\)。
仮定により、\(k = 0\)。
4: 注
即座の系として、\(g \neq 1\)および\(g^p = 1\)、ここで、\(p \in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)、に対して、以下を満たす\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(n \lt p \land g^n = 1\)、はない、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす最小\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(n' \le n \land g^{n'} = 1\)（\(n'\)は\(n\)かもしれない）、があることになり、\(n' z\)が、\(g^{n' z} = 1\)を満たす唯一のインテジャー（整数）たちだということになるが、それは、\(g^p = 1\)に矛盾する、なぜなら、\(p\)は\(n' z\)ではあり得ない: \(n' \neq 1\)。
