グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）と当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）は当該サブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G_1\): \(\in \{G \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G_1 \cap G_2 \in \{G_1 \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意のサブグループ（部分群）\(G_1 \subseteq G\)、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）\(G_2 \subseteq G\)に対して、\(G_1 \cap G_2 \subseteq G_1\)は\(G_1\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(p_1 \in G_1\)に対して、\(p_1 (G_1 \cap G_2) {p_1}^{-1} \subseteq G_1 \cap G_2\)であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって、各\(p_1 \in G_1\)に対して\(p_1 (G_1 \cap G_2) {p_1}^{-1} \subseteq G_1 \cap G_2\)であることを示せば十分である。
\(p_1 (G_1 \cap G_2) {p_1}^{-1} \subseteq p_1 G_2 {p_1}^{-1} = G_2\)、なぜなら、\(p_1 \in G\)。\(p_1 (G_1 \cap G_2) {p_1}^{-1} \subseteq p_1 G_1 {p_1}^{-1} \subseteq G_1\)、なぜなら、\(p_1 \in G_1\)。したがって、\(p_1 (G_1 \cap G_2) {p_1}^{-1} \subseteq G_1 \cap G_2\)。
