795: グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）である|T.B.P.日本語版

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グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明

話題

About: グループ（群）

読者は、任意のグループ（群）に対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）と当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）は当該サブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。

G

\in {全てのグループ（群）たち}

G_{1}

\in {G の全てのサブグループ（部分群）たち}

G_{2}

\in {G の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち}

//

ステートメント（言明）たち:

G_{1} \cap G_{2} \in {G_{1} の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち}

任意のグループ（群）

G

、任意のサブグループ（部分群）

G_{1} \subseteq G

、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）

G_{2} \subseteq G

に対して、

G_{1} \cap G_{2} \subseteq G_{1}

は

G_{1}

のノーマルサブグループ（正規部分群）である。

全体戦略: ステップ1: 各

p_{1} \in G_{1}

に対して、

p_{1} (G_{1} \cap G_{2}) {p_{1}}^{- 1} \subseteq G_{1} \cap G_{2}

p_{1} \in G_{1}

に対して

p_{1} (G_{1} \cap G_{2}) {p_{1}}^{- 1} \subseteq G_{1} \cap G_{2}

であることを示せば十分である。

p_{1} (G_{1} \cap G_{2}) {p_{1}}^{- 1} \subseteq p_{1} G_{2} {p_{1}}^{- 1} = G_{2}

、なぜなら、

p_{1} \in G

。

p_{1} (G_{1} \cap G_{2}) {p_{1}}^{- 1} \subseteq p_{1} G_{1} {p_{1}}^{- 1} \subseteq G_{1}

、なぜなら、

p_{1} \in G_{1}

。したがって、

p_{1} (G_{1} \cap G_{2}) {p_{1}}^{- 1} \subseteq G_{1} \cap G_{2}

。

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