グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g\): \(\in G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (g^n = 1 \land \lnot \exists n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (n' \lt n \land g^{n'} = 1))\)
\(\implies\)
\((g) = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意の要素\(g \in G\)に対して、もしも、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(g^n = 1\)で、以下を満たす\(n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(n' \lt n \land g^{n'} = 1\)、がない、場合、\((g) = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\}\)であることを見る; ステップ2: \(\{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)は互いに異なることを見る; ステップ3: \((g) = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\exists n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (g^n = 1 \land \lnot \exists n' \in \mathbb{N} \setminus \{0\} (n' \lt n \land g^{n'} = 1))\)であると仮定しよう。
\((g)\)は、'グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）'の定義により、\(g\)および\(g^{-1}\)の全てのファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）たちから構成されるので、\((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\}\): \(k_j \in \mathbb{Z}\)がポジティブ（正）、0、ネガティブ（負）のいずれであろうが、\(g^{k_1} ... g^{k_l} = g^{k_1 + ... + k_l}\)。
ステップ2:
\(\{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)は互いに異なることを見よう。
\(\{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)は互いに異なっていなかったと仮定しよう、それが意味するのは、以下を満たす何らかの\(k, l \in \mathbb{N}\)、つまり、\(0 \le k \lt l \le n - 1\)および\(g^k = g^l\).、があったということ。
\(1 = g^k g^{- k} = g^l g^{- k} = g^{l - k}\)、ここで、\(0 \lt l -k \le n - 1\)、矛盾。
したがって、\(\{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)は互いに異なる。
ステップ3:
以下を満たす各\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(n \lt k\)、に対して、\(k = n l + j\)、ここで、\(l \in \mathbb{N}\)は\(1 \le l\)を満たし\(j \in \mathbb{N}\)は\(0 \le j \lt n\)を満たす。したがって、\(g^k = g^{n l + j} = g^{n l} g^j = (g^n)^l g^j = 1^l g^j = 1 g^j = g^j\)。したがって、\(g^k \in \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)。
\(g^{-1} = g^{n - 1}\)、なぜなら、\(g g^{n - 1} = g^{n - 1} g = g^n = 1\). \(g^{-n} = 1\)、なぜなら、\(g^{-n} = (g^n)^{-1} = 1^{-1} = 1\)。
各\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(k = n l + j\)、ここで、\(l \in \mathbb{N}\)は\(0 \le l\)を満たし\(j \in \mathbb{N}\)は\(0 \le j \lt n\)を満たす。したがって、\(g^{-k} = g^{- n l - j} = (g^{- n})^l g^{- j} = (g^{- n})^l 1 g^{- j} = (g^{- n})^l g^n g^{- j} = 1^l g^{n - j} = 1 g^{n - j} = g^{n - j}\)。したがって、\(0 \lt n - j \le n\)。\(n - j = n\)である時、\(g^{-k} = g^n = 1\)。したがって、\(g^{- k} \in \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)。
したがって、\((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\} = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)。
