792: グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つ

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グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つことの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素の任意のコンジュゲート（共役）は当該要素のオーダーを持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$g$: $\in G$で、$|(g)|<\mathrm{\infty }$を満たすもの
$g^{\prime }$: $\in G$
//

ステートメント（言明）たち:
$|(g^{\prime }g{g}^{\prime -1})|=|(g)|$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意のファイナイト（有限）オーダー要素$g\in G$、任意の要素$g^{\prime }\in G$に対して、$|(g^{\prime }g{g}^{\prime -1})|=|(g)|$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $n:=|(g)|$として、$(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^n=1$であることを見る; ステップ2: 以下を満たす$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$k<n$および$(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^k=1$、がないことを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$n:=|(g)|$であるとしよう。

$g^n=1$、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。

$(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^n=g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{g}^{\prime }g{g}^{\prime -1}...g^{\prime }g{g}^{\prime -1}=g^{\prime }g1g1g...1g{g}^{\prime -1}=g^{\prime }{g}^n{g}^{\prime -1}=g^{\prime }1g^{\prime -1}=g^{\prime }{g}^{\prime -1}=1$。

ステップ2:

以下を満たす$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、つまり、$k<n$および$(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^k=1$、がないことを見よう。

そうしたある$k$があったと仮定しよう。

$g^k=g^{\prime -1}{g}^{\prime }{g}^k{g}^{\prime -1}{g}^{\prime }=g^{\prime -1}(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^k{g}^{\prime }=g^{\prime -1}1g^{\prime }=g^{\prime -1}{g}^{\prime }=1$、$|(g)|=n$に反する矛盾、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。

ステップ3:

$(g^{\prime }g{g}^{\prime -1})=\{1,g^{\prime }g{g}^{\prime -1},...,(g^{\prime }g{g}^{\prime -1}{)}^{n-1}\}$、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題によって。

それが意味するのは、$|(g^{\prime }g{g}^{\prime -1})|=n=|(g)|$。

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参考資料

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