グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素の任意のコンジュゲート（共役）は当該要素のオーダーを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g\): \(\in G\)で、\(\vert (g) \vert \lt \infty\)を満たすもの
\(g'\): \(\in G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert (g' g g'^{-1}) \vert = \vert (g) \vert\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意のファイナイト（有限）オーダー要素\(g \in G\)、任意の要素\(g' \in G\)に対して、\(\vert (g' g g'^{-1}) \vert = \vert (g) \vert\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(n := \vert (g) \vert\)として、\((g' g g'^{-1})^n = 1\)であることを見る; ステップ2: 以下を満たす\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(k \lt n\)および\((g' g g'^{-1})^k = 1\)、がないことを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(n := \vert (g) \vert\)であるとしよう。
\(g^n = 1\)、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。
\((g' g g'^{-1})^n = g' g g'^{-1} g' g g'^{-1} ... g' g g'^{-1} = g' g 1 g 1 g ... 1 g g'^{-1} = g' g^n g'^{-1} = g' 1 g'^{-1} = g' g'^{-1} = 1\)。
ステップ2:
以下を満たす\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(k \lt n\)および\((g' g g'^{-1})^k = 1\)、がないことを見よう。
そうしたある\(k\)があったと仮定しよう。
\(g^k = g'^{-1} g' g^k g'^{-1} g' = g'^{-1} (g' g g'^{-1})^k g' = g'^{-1} 1 g' = g'^{-1} g' = 1\)、\(\vert (g) \vert = n\)に反する矛盾、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。
ステップ3:
\((g' g g'^{-1}) = \{1, g' g g'^{-1}, ..., (g' g g'^{-1})^{n - 1}\}\)、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題によって。
それが意味するのは、\(\vert (g' g g'^{-1}) \vert = n = \vert (g) \vert\)。
