グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のオーダー累乗は\(1\)であり、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の要素のオーダーの定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは当該要素に戻るという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(g\): \(\in G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert (g) \vert = n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\implies\)
\(g^n = 1 \land (g) = \{1, ..., g^{n - 1}\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意の要素\(g \in G\)に対して、もしも、\(g\)のオーダー\(\vert (g) \vert\)があるファイナイト（有限）\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)である場合、\(g^n = 1 \land (g) = \{1, ..., g^{n - 1}\}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\}\)であることを見る; ステップ2: \((g, g^2, ...)\)のことを考え、当該シーケンスは\(g\)へ戻ることを見る; ステップ3: \((g) = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\vert (g) \vert = n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)であると仮定しよう。
\((g)\)は、'グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）'の定義によって、\(g\)および\(g^{-1}\)の全てのファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）たちから構成されるので、\((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\}\): \(k_j \in \mathbb{Z}\)がポジティブ（正）、0、ネガティブ（負）のいずれであっても、\(g^{k_1} ... g^{k_l} = g^{k_1 + ... + k_l}\)。
\(\vert (g) \vert = n\)が意味するのは、\(\{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\}\)は重複たちを持ち、\(n\)個の互いに異なる要素たちを持つということ。
ステップ2:
\((g, g^2, ...)\)のことを考えよう。
以下を満たすある\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)がある、つまり、\(\{g, ..., g^m\}\)は互いに異なり、\(g^{m + 1} \in \{g, ..., g^m\}\)、なぜなら、そうでなければ、\(\{g, g^2 ...\}\)は互いに異なることになる、それが意味するのは、\(\vert (g) \vert\)はファイナイト（有限）ではなかったということ。
実のところ、\(g^{m + 1} = g\)、任意のグループ（群）に対して、任意の要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは当該要素に戻るという命題によって。
それが意味するのは、\(g^m = 1\)、なぜなら、\(g^m = g^{m + 1} g^{-1} = g g^{-1} = 1\)。
\(\{1 = g^0 = g^m, g = g^1, ..., g^{m - 1}\}\)、それは互いに異なる、のことを考えよう。
Step 3: ステップ3:
以下を満たす各\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(m \lt k\)、に対して、\(k = m l + j\)、ここで、\(l \in \mathbb{N}\)は\(0 \le l\)を満たし\(j \in \mathbb{N}\)は\(0 \le j \lt m\)を満たす。したがって、\(g^k = g^{m l + j} = g^{m l} g^j = (g^m)^l g^j = 1^l g^j = 1 g^j = g^j\)。したがって、\(g^k \in \{1, g, ..., g^{m - 1}\}\)。
\(g^{-1} = g^{m - 1}\)、なぜなら、\(g g^{m - 1} = g^{m - 1} g = g^m = 1\)。\(g^{-m} = 1\)、なぜなら、\(g^{-m} = (g^m)^{-1} = 1^{-1} = 1\)。
以下を満たす各\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(0 \lt k\)、に対して、\(k = m l + j\)、ここで、\(l \in \mathbb{N}\)は\(0 \le l\)を満たし\(j \in \mathbb{N}\)は\(0 \le j \lt m\)を満たす。したがって、\(g^{-k} = g^{- m l - j} = (g^{- m})^l g^{- j} = (g^{- m})^l 1 g^{- j} = (g^{- m})^l g^m g^{- j} = 1^l g^{m - j} = 1 g^{m - j} = g^{m - j}\)。しかし、\(0 \lt m - j \le m\)。\(m - j = m\)である時、\(g^{-k} = g^m = 1\)。したがって、\(g^{- k} \in \{1, g, ..., g^{m - 1}\}\)。
したがって、\((g) = \{1, g, g^{-1}, g^2, g^{-2}, ...\} = \{1, g, ..., g^{m - 1}\}\)。
\(\vert (g) \vert = n\)であるから、実のところ、\(m = n\)。
したがって、\((g) = \{1, g, ..., g^{n - 1}\}\)。
