789: グループ（群）に対して、要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは要素に戻る

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グループ（群）に対して、要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは要素に戻ることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは当該要素に戻るという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$p$: $\in G$
$(p,p^2,...)$:
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}(\{p,...,p^n\}\text{ は互いに異なる }\wedge p^{n+1}\in \{p,...,p^n\})$
$⟹$
$p^{n+1}=p$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意の要素$p\in G$、累乗たちシーケンス（列）$(p,p^2,...)$に対して、もしも、以下を満たすある$n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$がある、つまり、$\{p,...,p^n\}$はは互いに異なり、$p^{n+1}\in \{p,...,p^n\}$、場合、$p^{n+1}=p$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p^{n+1}=p^k$、ここで、$1\le k\le n$、とし、$k=1$であることを見る。

ステップ1:

以下を満たすある$k\in \mathbb{N}$、つまり、$1\le k\le n$で$p^{n+1}=p^k$、がある。

$0\le n-k$、したがって、$2\le n-k+2\le n-1+2=n+1$。

$p^{n+1}=p^k$であるから、$p^{n-k+2}=p^{n+1-(k-1)}=p^{k-(k-1)}=p$。$2\le n-k+2\le n+1$であるから、$n-k+2=n+1$、なぜなら、そうでなければ、$\{p,...,p^n\}$は互いに違わないことになる。それが含意するのは、$k=1$。

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参考資料

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