815: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）ものまたは同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、アンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）ものは0である

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同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）ものまたは同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、アンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）ものは0であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 0: 注1
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の定義を知っている。
• 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）ものの定義を知っている。
• 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものの定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）およびインデックスたちの任意のセット（集合）に対して、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）アレイ（配列）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）アレイ（配列）は0であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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0: 注1

任意の$n$長2ディメンショナル（次元）アレイ（配列）は$n\times n$マトリックス（行列）である。

任意の$(p-q)$テンソルの任意のベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちは、ベクトルたちスペース（空間）ディメンション（次元）長(p + q)ディメンショナル（次元）アレイ（配列）である、しかし、ある同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は必ずしもあるテンソルのコンポーネントたちではない: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は、一般的に、必ずしも何らのテンソルにも関係しない単なる数字たちのコレクションである。

当該同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）のディメンション（次元）たちは、私たちの目的のためには、同一長を持たなければならない、なぜなら、そうでなければ、インデックスたちのあるパーミュテーション（並べ替え）は意味をなさないであろう。

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての同一長 }n\text{ ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち }\}$, $=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}\end{array}\right)$
$S$: $\subseteq \{1,...,n\}$, $=\{l_1,...,l_k\}$
$M^{\prime }$: $=M\text{ の }S\text{ に関してシンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）もの }$, $=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}^{\prime }\end{array}\right)$
$M^{″}$: $=M\text{ の }S\text{ に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）もの }$, $=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}^{″}\end{array}\right)$
//

ステートメント（言明）たち:
$M^{\prime }=0$.
$\wedge$
$M^{″}=0$.
//

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2: 自然言語記述

任意の同一長$n$ディメンショナル（次元）アレイ（配列）$M=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}\end{array}\right)$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq \{1,...,n\}$, $=\{l_1,...,l_k\}$、$M$の$S$に関してシンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）もの$M^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}^{\prime }\end{array}\right)$、$M$の$S$に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）もの$M^{″}=\left(\begin{array}{c}{M}_{j_1,...,j_n}^{″}\end{array}\right)$に対して、$M^{\prime }=0$および$M^{″}=0$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $M_{j_1,...,j_n}^{\prime }$を、$M$の$S$に関してシンメトライズド（対称化された）$N^{\prime }$で表現し、$M^{\prime }=0$であることを見る; ステップ2: $M_{j_1,...,j_n}^{″}$を、$M$の$S$に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）$N^{″}$で表現し、$M^{″}=0$であることを見る。

ステップ1:

$N^{\prime }$は、$M$の$S$に関してシンメトライズド（対称化された）ものとしよう。

$M_{j_1,...,j_n}^{\prime }=1/k!\sum _{\sigma }sgn\sigma N_{\sigma ((j_1,...,j_n){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_n){)}_n}^{\prime }$、ここで、$\sigma$は、$(j_1,...,j_n)$の以下を満たす各パーミュテーション（並べ替え）、つまり、$(j_{l_1},...,j_{l_k})$だけが並べ替えられる、である。しかし、$N_{\sigma ((j_1,...,j_n){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_n){)}_n}^{\prime }=N_{j_1,...,j_n}^{\prime }$、なぜなら、それがシンメトライゼーション（対称化）の目的である。したがって、$=1/k!\sum _{\sigma }sgn\sigma N_{j_1,...,j_n}^{\prime }=1/k!N_{j_1,...,j_n}^{\prime }\sum _{\sigma }sgn\sigma =0$、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題によって。

ステップ2:

$N^{″}$は、$M$の$S$に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものであるとしよう。

$M_{j_1,...,j_n}^{″}=1/k!\sum _{\sigma }{N}_{\sigma ((j_1,...,j_n){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_n){)}_n}^{″}$、ここで、$\sigma$は、$(j_1,...,j_n)$の以下を満たす各パーミュテーション（並べ替え）、つまり、$(j_{l_1},...,j_{l_k})$だけが並べ替えられる、である。しかし、$N_{\sigma ((j_1,...,j_n){)}_1,...,\sigma ((j_1,...,j_n){)}_n}^{″}=sgn\sigma N_{j_1,...,j_n}^{″}$、なぜなら、それがアンチシンメトライゼーション（反対称化）の目的である。したがって、$=1/k!\sum _{\sigma }sgn\sigma N_{j_1,...,j_n}^{″}=1/k!N_{j_1,...,j_n}^{″}\sum _{\sigma }sgn\sigma =0$、任意のファイナイト（有限）要素たちの任意のシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つという命題によって。

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参考資料

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