2個の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）たちのコントラクション（縮約）で、それらの内の一方がインデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）もの、は、他方アレイ（配列）もそれに応じてシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）でのコントラクション（縮約）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）ものの定義を知っている。
- 読者は、同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものの定義を知っている。
- 読者は、任意の固定されたドメイン（定義域）および任意の固定されたコドメイン（余域）に対する全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、任意のパーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）に当該セット（集合）を当該セット（集合）の上へマップするという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2個の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）たちのコントラクション（縮約）で、それらの内の一方がインデックスたちの任意のセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）もの、は、他方アレイ（配列）もそれに応じてシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）でのコントラクション（縮約）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
0: 注1
任意の\(n\)長2ディメンショナル（次元）アレイ（配列）は\(n \times n\)マトリックス（行列）である。
任意の\((p-q)\)テンソルの任意のベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちは、ベクトルたちスペース（空間）ディメンション（次元）長(p + q)ディメンショナル（次元）アレイ（配列）である、しかし、ある同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は必ずしもあるテンソルのコンポーネントたちではない: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）は、一般的に、必ずしも何らのテンソルにも関係しない単なる数字たちのコレクションである。
当該同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）のディメンション（次元）たちは、私たちの目的のためには、同一長を持たなければならない、なぜなら、そうでなければ、インデックスたちのあるパーミュテーション（並べ替え）は意味をなさないであろう。
1: 構造化された記述
エンティティ（実体）たち:
\(n\): \(\in \mathbb{N}\), \(2 \le n \lt \infty\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての同一長 } n \text{ ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち }\}\), \(= \begin{pmatrix} M_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全ての同一長 } n \text{ ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち }\}\), \(= \begin{pmatrix} N_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\(S\): \(= \{l_1, ..., l_k\} \subseteq \{1, ..., n\}\)
\(M'\): \(= M \text{ の } S \text{ に関してシンメトライズド（対称化された）もの }\), \(= \begin{pmatrix} M'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\(M''\): \(= M \text{ の } S \text{ に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）もの }\), \(= \begin{pmatrix} M''_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\(N'\): \(= N \text{ の } S \text{ に関してシンメトライズド（対称化された）もの }\), \(= \begin{pmatrix} N'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
\(N''\): \(= N \text{ の } S \text{ に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）もの }\), \(= \begin{pmatrix} N''_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\).
\(\land\)
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\).
//
2: 自然言語記述
任意の全ての同一長\(n\)ディメンショナル（次元）アレイ（配列）たち\(M = \begin{pmatrix} M_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}, N = \begin{pmatrix} N_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)、ここで、\(2 \le n \lt \infty\)、任意のサブセット（部分集合）\(S = \{l_1, ..., l_k\} \subseteq \{1, ..., n\}\)、\(M\)の\(S\)に関してシンメトライズド（対称化された）もの\(M' = \begin{pmatrix} M'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)、\(M\)の\(S\)に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）もの\(M'' = \begin{pmatrix} M''_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)、\(N\)の\(S\)に関してシンメトライズド（対称化された）もの\(N' = \begin{pmatrix} N'_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)、\(N\)の\(S\)に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）もの\(N'' = \begin{pmatrix} N''_{j_1, ..., j_n} \end{pmatrix}\)に対して、\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)および\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(X := \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)および以下を満たす\((j_1, ..., j_n)\)の各パーミュテーション（並べ替え）、つまり、\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけが並べ替えられる、\(\sigma\)に対して、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)であることを見る; ステップ2: \(X = 1 / k! \sum_{\sigma} X\)を取り、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)であることを見る; ステップ3: \(X := \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)および\((j_1, ..., j_n)\)の以下を満たす各パーミュテーション（並べ替え）、つまり、\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけが並び替えられる、\(\sigma\)、に対して、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} sgn \sigma M''_{j_1, ..., j_n}\); ステップ4: \(X = 1 / k! \sum_{\sigma} X\)を取り、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\sigma\)は、\((j_1, ..., j_n)\)の以下を満たす任意のパーミュテーション（並べ替え）、つまり、\((j_{l_1}, ..., j_{l_k})\)だけが並べ替えられる、であるとしよう。
\(X := \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)としよう。
任意の固定された\(\sigma\)に対して、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M'_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n}\)、任意の固定されたドメイン（定義域）および任意の固定されたコドメイン（余域）に対する全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、任意のパーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）に当該セット（集合）を当該セット（集合）の上へマップするという命題によって。
\(= \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)、なぜなら、\(M'\)はシンメトライズド（対称化された）である。
ステップ2:
そうした\(\sigma\)たちが\(k!\)個あるところ、\(X = 1 / k! \sum_{\sigma} X = 1 / k! \sum_{\sigma} \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M'_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} 1 / k! \sum_{\sigma} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M'_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)。
ステップ3:
\(X := \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)であるとしよう。
任意の固定した\(\sigma\)に対して、\(X = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M''_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n}\)、任意の固定されたドメイン（定義域）および任意の固定されたコドメイン（余域）に対する全てのシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、任意のパーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）に当該セット（集合）を当該セット（集合）の上へマップするという命題によって。
\(= \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} sgn \sigma M''_{j_1, ..., j_n}\)、なぜなら、\(M''\)はアンチシンメトライズド（反対称化された）である。
ステップ4:
そうした\(\sigma\)たちが\(k!\)個あるところ、\(X = 1 / k! \sum_{\sigma} X = 1 / k! \sum_{\sigma} \sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} sgn \sigma M''_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} 1 / k! \sum_{\sigma} sgn \sigma N_{\sigma ((j_1, ..., j_n))_1, ..., \sigma ((j_1, ..., j_n))_n} M''_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)。
4: 注2
以下たちも勿論成立する。
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} M'_{j_1, ..., j_n} N_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} M'_{j_1, ..., j_n} N'_{j_1, ..., j_n}\)。
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} M''_{j_1, ..., j_n} N_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} M''_{j_1, ..., j_n} N''_{j_1, ..., j_n}\)。
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M_{j_1, ..., j_n}\)、なぜなら、\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N'_{j_1, ..., j_n} M'_{j_1, ..., j_n}\)。
\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M_{j_1, ..., j_n}\)、なぜなら、\(\sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M_{j_1, ..., j_n} = \sum_{(j_1, ..., j_n)} N''_{j_1, ..., j_n} M''_{j_1, ..., j_n}\)。
