835: n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でない

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n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないことの記述/証明

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話題

About: マトリックス（行列）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のスクウェアマトリクス（正方行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$M$: $\in \{\text{ 全ての }nxnF\text{ マトリックス（行列）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }\{j_1,...,j_m\}\subseteq \{1,...,n\},\mathrm{\exists }\{k_1,...,k_l\}\subseteq \{1,...,n\}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }n-m<l(\mathrm{\forall }{j}_p\in \{j_1,...,j_m\},\mathrm{\forall }{k}_q\in \{k_1,...,k_l\}(M_{k_q}^{j_p}=0))$
$⟹$
$M\notin \{\text{ 全てのインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たち }\}$
//

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2: 注

例えば、$\left(\begin{array}{ccc}{M}_1^1& 0& 0\\ M_1^2& 0& 0\\ M_1^3& M_2^3& M_3^3\end{array}\right)$はインバーティブル（可逆）ではない: $\{j_1,j_2\}=\{1,2\}$および$\{k_1,k_2\}=\{2,3\}$で、$n-m=3-2=1<2=l$。

本命題は、直接には、"任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つ"だけについて語っている、しかし、勿論、それは、'任意のm列たちで、n - mより多くの任意の同一行たち0を持つ'にも成立する、なぜなら、単に、当該マトリックス（行列）をトランスポーズ（転置）し、トランスポーズ（転置）されたマトリックス（行列）に本命題を適用し、トランスポーズ（転置）されたマトリックス（行列）をトランスポーズ（転置）して元のマトリックス（行列）に戻せばよい、非インバーティブル（可逆）性を変えることなしに。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意のスクウェアマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、当該デターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、ことを見る; ステップ2: 当該$m$行たちはリニア（線形）にディペンデント（依存）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、当該デターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、任意のスクウェアマトリクス（正方行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

したがって、チェックする必要のあることは、$detM=0$だけである。

ステップ2:

当該$m$行たちはリニア（線形）にディペンデント（依存）であることを見よう。

当該条件が意味するのは、$m$行たちは、$n-(n-m)=m$より少ない非ゼロ列たちを持つということ。

非ゼロ列たちの数を$s$、ここで、$s<m$としよう。

当該$m$行たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）は、最大でも$s$である。

当該$m$行たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではあり得ない、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題によって。

ステップ3:

当該マトリックス（行列）は行たちのリニア（線形）にディペンデント（依存）セット（集合）を持つから、そのデターミナント（行列式）は$0$である。

したがって、$M$はインバーティブル（可逆）でない。

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参考資料

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