n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のn x nマトリックス（行列）に対して、もしも、任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つものがある場合、当該マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n x n F \text{ マトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{j_1, ..., j_m\} \subseteq \{1, ..., n\}, \exists \{k_1, ..., k_l\} \subseteq \{1, ..., n\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } n - m \lt l (\forall j_p \in \{j_1, ..., j_m\}, \forall k_q \in \{k_1, ..., k_l\} (M^{j_p}_{k_q} = 0))\)
\(\implies\)
\(M \notin \{\text{ 全てのインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: 注
例えば、\(\begin{pmatrix} M^1_1 & 0 & 0 \\ M^2_1 & 0 & 0 \\ M^3_1 & M^3_2 & M^3_3 \end{pmatrix}\)はインバーティブル（可逆）ではない: \(\{j_1, j_2\} = \{1, 2\}\)および\(\{k_1, k_2\} = \{2, 3\}\)で、\(n - m = 3 - 2 = 1 \lt 2 = l\)。
本命題は、直接には、"任意のm行たちで、n - mより多くの任意の同一列たち0を持つ"だけについて語っている、しかし、勿論、それは、'任意のm列たちで、n - mより多くの任意の同一行たち0を持つ'にも成立する、なぜなら、単に、当該マトリックス（行列）をトランスポーズ（転置）し、トランスポーズ（転置）されたマトリックス（行列）に本命題を適用し、トランスポーズ（転置）されたマトリックス（行列）をトランスポーズ（転置）して元のマトリックス（行列）に戻せばよい、非インバーティブル（可逆）性を変えることなしに。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のスクウェアマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、当該デターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、ことを見る; ステップ2: 当該\(m\)行たちはリニア（線形）にディペンデント（依存）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のスクウェアマトリックス（正方行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、当該デターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、任意のスクウェアマトリクス（正方行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、チェックする必要のあることは、\(det M = 0\)だけである。
ステップ2:
当該\(m\)行たちはリニア（線形）にディペンデント（依存）であることを見よう。
当該条件が意味するのは、\(m\)行たちは、\(n - (n - m) = m\)より少ない非ゼロ列たちを持つということ。
非ゼロ列たちの数を\(s\)、ここで、\(s \lt m\)としよう。
当該\(m\)行たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）は、最大でも\(s\)である。
当該\(m\)行たちはリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではあり得ない、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないという命題によって。
ステップ3:
当該マトリックス（行列）は行たちのリニア（線形）にディペンデント（依存）セット（集合）を持つから、そのデターミナント（行列式）は\(0\)である。
したがって、\(M\)はインバーティブル（可逆）でない。
