834: マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である

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マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、%フィールド（体）%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M(d_{1}x{d}_2,\mathbb{R})$: $=\{\text{ 全ての }{d}_{1}x{d}_2\text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\}$で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{d_1{d}_2}$のトポロジーを持つもの
$M(d_{2}x{d}_3,\mathbb{R})$: $=\{\text{ 全ての }{d}_{2}x{d}_3\text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\}$で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{d_2{d}_3}$のトポロジーを持つもの
$M(d_{1}x{d}_3,\mathbb{R})$: $=\{\text{ 全ての }{d}_{1}x{d}_3\text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち }\}$で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^{d_1{d}_3}$のトポロジーを持つもの
$f$: $:M(d_{1}x{d}_2,\mathbb{R})\times M(d_{2}x{d}_3,\mathbb{R})\to M(d_{1}x{d}_3,\mathbb{R}),(M,N)\mapsto MN$
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ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$(M,N)\in M(d_{1}x{d}_2,\mathbb{R})\times M(d_{2}x{d}_3,\mathbb{R})$および$MN$の周りの各オープンキューブ（開立方体）$C_{MN,ϵ}$を取る; ステップ2: $(M,N)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$C_{M,\delta }\times C_{N,\delta }$を取り、$\delta$を$f(C_{M,\delta }\times C_{N,\delta })\subseteq C_{MN,ϵ}$を満たすように選択する。

ステップ1:

$(M,N)\in M(d_{1}x{d}_2,\mathbb{R})\times M(d_{2}x{d}_3,\mathbb{R})$を任意のものとしよう。

$C_{MN,ϵ}$を$MN$の周りの任意のオープンキューブ（開立方体）としよう。

ステップ2:

$(M,N)$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$C_{M,\delta }\times C_{N,\delta }$、ここで、$C_{M,\delta }$および$C_{N,\delta }$はオープンキューブ（開立方体）たち、を取ろう: 私たちは、$\delta$を$f(C_{M,\delta }\times C_{N,\delta })\subseteq C_{MN,ϵ}$を満たすように選ぼう。

$(MN{)}_k^j=M_l^j{N}_k^l$。

$\bar{M}$を$M$の最大コンポーネント絶対値としよう; $\bar{N}$を$N$の最大コンポーネント絶対値としよう。

$M_l^j$は$M_l^j+{\lambda }_l^j$になり、$N_k^l$は$N_k^l+{\tau }_k^l$になるから、$M_l^j{N}_k^l$は$(M_l^j+{\lambda }_l^j)(N_k^l+{\tau }_k^l)=M_l^j{N}_k^l+M_l^j{\tau }_k^l+{\lambda }_l^j{N}_k^l+{\lambda }_l^j{\tau }_k^l$になる。

その$M_l^j{N}_k^l$からの差異絶対値は、$|M_l^j{\tau }_k^l+{\lambda }_l^j{N}_k^l+{\lambda }_l^j{\tau }_k^l|\le |M_l^j||{\tau }_k^l|+|{\lambda }_l^j||N_k^l|+|{\lambda }_l^j||{\tau }_k^l|\le \sum _l\bar{M}\delta +\delta \sum _l|\bar{N}|+\sum _l{\delta }^2=d_2\bar{M}\delta +\delta d_2|\bar{N}|+d_2{\delta }^2$。

$\delta$は、十分小さく選んで、$d_2\bar{M}\delta +\delta d_2|\bar{N}|+d_2{\delta }^2<ϵ$とできることは明らかである。

それが意味するのは、$f(C_{M,\delta }\times C_{N,\delta })\subseteq C_{MN,ϵ}$。

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参考資料

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