マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M (d_1 x d_2, \mathbb{R})\): \(= \{\text{ 全ての } d_1 x d_2 \text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち } \}\)で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{d_1 d_2}\)のトポロジーを持つもの
\(M (d_2 x d_3, \mathbb{R})\): \(= \{\text{ 全ての } d_2 x d_3 \text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち } \}\)で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{d_2 d_3}\)のトポロジーを持つもの
\(M (d_1 x d_3, \mathbb{R})\): \(= \{\text{ 全ての } d_1 x d_3 \text{ リアル（実）マトリックス（行列）たち } \}\)で、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^{d_1 d_3}\)のトポロジーを持つもの
\(f\): \(: M (d_1 x d_2, \mathbb{R}) \times M (d_2 x d_3, \mathbb{R}) \to M (d_1 x d_3, \mathbb{R}), (M, N) \mapsto M N\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\((M, N) \in M (d_1 x d_2, \mathbb{R}) \times M (d_2 x d_3, \mathbb{R})\)および\(M N\)の周りの各オープンキューブ（開立方体）\(C_{M N, \epsilon}\)を取る; ステップ2: \((M, N)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(C_{M, \delta} \times C_{N, \delta}\)を取り、\(\delta\)を\(f (C_{M, \delta} \times C_{N, \delta}) \subseteq C_{M N, \epsilon}\)を満たすように選択する。
ステップ1:
\((M, N) \in M (d_1 x d_2, \mathbb{R}) \times M (d_2 x d_3, \mathbb{R})\)を任意のものとしよう。
\(C_{M N, \epsilon}\)を\(M N\)の周りの任意のオープンキューブ（開立方体）としよう。
ステップ2:
\((M, N)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(C_{M, \delta} \times C_{N, \delta}\)、ここで、\(C_{M, \delta}\)および\(C_{N, \delta}\)はオープンキューブ（開立方体）たち、を取ろう: 私たちは、\(\delta\)を\(f (C_{M, \delta} \times C_{N, \delta}) \subseteq C_{M N, \epsilon}\)を満たすように選ぼう。
\((M N)^j_k = M^j_l N^l_k\)。
\(\overline{M}\)を\(M\)の最大コンポーネント絶対値としよう; \(\overline{N}\)を\(N\)の最大コンポーネント絶対値としよう。
\(M^j_l\)は\(M^j_l + \lambda^j_l\)になり、\(N^l_k\)は\(N^l_k + \tau^l_k\)になるから、\(M^j_l N^l_k\)は\((M^j_l + \lambda^j_l) (N^l_k + \tau^l_k) = M^j_l N^l_k + M^j_l \tau^l_k + \lambda^j_l N^l_k + \lambda^j_l \tau^l_k\)になる。
その\(M^j_l N^l_k\)からの差異絶対値は、\(\vert M^j_l \tau^l_k + \lambda^j_l N^l_k + \lambda^j_l \tau^l_k \vert \le \vert M^j_l \vert \vert \tau^l_k \vert + \vert \lambda^j_l \vert \vert N^l_k \vert + \vert \lambda^j_l \vert \vert \tau^l_k \vert \le \sum_{l} \overline{M} \delta + \delta \sum_{l} \vert \overline{N} \vert + \sum_{l} \delta^2 = d_2 \overline{M} \delta + \delta d_2 \vert \overline{N} \vert + d_2 \delta^2\)。
\(\delta\)は、十分小さく選んで、\(d_2 \overline{M} \delta + \delta d_2 \vert \overline{N} \vert + d_2 \delta^2 \lt \epsilon\)とできることは明らかである。
それが意味するのは、\(f (C_{M, \delta} \times C_{N, \delta}) \subseteq C_{M N, \epsilon}\)。
