797: トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$A$: $\in \{\text{ アンカウンタブル（不可算）かもしれない全てのインデックスセット（集合）たち }\}$
$\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$: $\in \{T\text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}$
$S\subseteq T$:
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
$⟺$
$\mathrm{\forall }\alpha \in A(S\cap U_{\alpha }\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})$
//

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2: 注

本命題は、言わば、"サブセット（部分集合）のオープン（開）性はローカルにチェックできる。"、という。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S$はオープン（開）であると仮定し、$S\cap U_{\alpha }$はオープン（開）であることを見る; ステップ2: $S\cap U_{\alpha }$はオープン（開）であると仮定し、$S=T\cap S=({\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha })\cap S$であることを見、$S$はオープン（開 であることを見る。

ステップ1:

$S$は$T$上でオープン（開）であると仮定しよう。

各$\alpha \in A$に対して、$S\cap U_{\alpha }$は$T$上でオープン（開 ）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。

ステップ2:

各$\alpha \in A$に対して、$S\cap U_{\alpha }$は$T$上でオープン（開）であると仮定しよう。

$S=T\cap S=({\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha })\cap S={\cup }_{\alpha \in A}(U_{\alpha }\cap S)$、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、それは$T$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。

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参考資料

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