トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(A\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル（不可算）かもしれない全てのインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_\alpha \vert \alpha \in A\}\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
\(S \subseteq T\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall \alpha \in A (S \cap U_\alpha \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})\)
//
2: 注
本命題は、言わば、"サブセット（部分集合）のオープン（開）性はローカルにチェックできる。"、という。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)はオープン（開）であると仮定し、\(S \cap U_\alpha\)はオープン（開）であることを見る; ステップ2: \(S \cap U_\alpha\)はオープン（開）であると仮定し、\(S = T \cap S = (\cup_{\alpha \in A} U_\alpha) \cap S\)であることを見、\(S\)はオープン（開 であることを見る。
ステップ1:
\(S\)は\(T\)上でオープン（開）であると仮定しよう。
各\(\alpha \in A\)に対して、\(S \cap U_\alpha\)は\(T\)上でオープン（開 ）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として。
ステップ2:
各\(\alpha \in A\)に対して、\(S \cap U_\alpha\)は\(T\)上でオープン（開）であると仮定しよう。
\(S = T \cap S = (\cup_{\alpha \in A} U_\alpha) \cap S = \cup_{\alpha \in A} (U_\alpha \cap S)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、それは\(T\)上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。
