798: セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一である

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セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）および2つの任意のトポロジーたちに対して、もしも、ある共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該カバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、当該トポロジーたちは同一であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$O_1$: $\in \{S\text{ に対する全てのトポロジーたち }\}$
$O_2$: $\in \{S\text{ に対する全てのトポロジーたち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
( $\mathrm{\exists }\{U_{\alpha }|A\}\in \{O_1\text{ 内の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\cap \{O_2\text{ 内の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }\alpha \in A$
(
$\mathrm{\forall }U\in \{U_{\alpha }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 }{O}_1\text{ 内で }\}(U\in \{U_{\alpha }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 }{O}_2\text{ 内で }\})$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }U\in \{U_{\alpha }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 }{O}_2\text{ 内で }\}(U\in \{U_{\alpha }\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 }{O}_1\text{ 内で }\})$
)
)
$⟺$
$O_1=O_2$
//

"$U_{\alpha }$のオープンサブセット（開部分集合）、$O_j$内で"が厳密に意味することは、それは、$O_j$によってインデュースト（誘導された）トポロジカルサブスペース（部分空間）$U_{\alpha }$のオープンサブセット（開部分集合）であるということ、しかし、$U_{\alpha }$は$O_j$内でオープン（開）であるから、実のところ、それは$O_j$内でもオープン（開）である。

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2: 注

本命題は、言わば、"トポロジーたちの同一性は、ローカルにチェックできる。"、と言う。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると仮定し、$O_1$内の任意のオープンサブセット（開部分集合）$U_1\subseteq S$を取り、各$U_1\cap U_{\alpha }$は$O_2$内でオープン（開）であることを見、$U_1$は$O_2$内でオープン（開）であると結論する; ステップ2: 同様に、$O_2$内の任意のオープンサブセット（開部分集合）$U_2\subseteq S$は$O_1$内でオープン（開）であると結論する; ステップ3: $O_1=O_2$であると結論する; ステップ4: $O_1=O_2$であると仮定し、ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると結論する。

ステップ1:

ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると仮定しよう。

$U_1\subseteq S$は$O_1$内の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U_1$は$O_2$内でオープン（開）であることを見る。

任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、私たちがする必要のあるのは、各$U_1\cap U_{\alpha }$は$O_2$内でオープン（開）であることである。

$U_1\cap U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$は、$O_1$によってインデュースト（誘導された）$U_{\alpha }$のサブスペース（部分空間）トポロジー内でオープン（開）であるから、$U_1\cap U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$は、$O_2$によってインデュースト（誘導された）サブスペース（部分集合）トポロジー内でオープン（開）である、仮定によって。$U_{\alpha }\subseteq S$は$O_2$内でオープン（開）であるから、$U_1\cap U_{\alpha }\subseteq S$は$O_2$内でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

したがって、$U_1$は本当に$O_2$内でオープン（開）である。

ステップ2:

同様に、$O_2$内の任意のオープンサブセット（開部分集合）$U_2\subseteq S$は$O_1$内でオープン（開）である、対称性によって。

ステップ3:

ステップ1とステップ2は、$O_1=O_2$を意味する。

ステップ4:

$O_1=O_2$であると仮定しよう。

勿論、ある共通オープンカバー（開被覆）がある。

勿論、一方のトポロジーにおける当該カバー（被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）である。

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参考資料

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