セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および2つの任意のトポロジーたちに対して、もしも、ある共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該カバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、当該トポロジーたちは同一であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(O_1\): \(\in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
\(O_2\): \(\in \{S \text{ に対する全てのトポロジーたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
( \(\exists \{U_\alpha \vert A\} \in \{O_1 \text{ 内の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\} \cap \{O_2 \text{ 内の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall \alpha \in A\)
(
\(\forall U \in \{ U_\alpha\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 } O_1 \text{ 内で }\} (U \in \{U_\alpha \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 } O_2 \text{ 内で }\})\)
\(\land\)
\(\forall U \in \{U_\alpha \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 } O_2 \text{ 内で }\} (U \in \{U_\alpha \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち、 } O_1 \text{ 内で }\})\)
)
)
\(\iff\)
\(O_1 = O_2\)
//
"\(U_\alpha\)のオープンサブセット（開部分集合）、\(O_j\)内で"が厳密に意味することは、それは、\(O_j\)によってインデュースト（誘導された）トポロジカルサブスペース（部分空間）\(U_\alpha\)のオープンサブセット（開部分集合）であるということ、しかし、\(U_\alpha\)は\(O_j\)内でオープン（開）であるから、実のところ、それは\(O_j\)内でもオープン（開）である。
2: 注
本命題は、言わば、"トポロジーたちの同一性は、ローカルにチェックできる。"、と言う。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると仮定し、\(O_1\)内の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq S\)を取り、各\(U_1 \cap U_\alpha\)は\(O_2\)内でオープン（開）であることを見、\(U_1\)は\(O_2\)内でオープン（開）であると結論する; ステップ2: 同様に、\(O_2\)内の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_2 \subseteq S\)は\(O_1\)内でオープン（開）であると結論する; ステップ3: \(O_1 = O_2\)であると結論する; ステップ4: \(O_1 = O_2\)であると仮定し、ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると結論する。
ステップ1:
ある共通オープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおける当該オープンカバー（開被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）であると仮定しよう。
\(U_1 \subseteq S\)は\(O_1\)内の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U_1\)は\(O_2\)内でオープン（開）であることを見る。
任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のオープンカバー（開被覆）に対して、任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、私たちがする必要のあるのは、各\(U_1 \cap U_\alpha\)は\(O_2\)内でオープン（開）であることである。
\(U_1 \cap U_\alpha \subseteq U_\alpha\)は、\(O_1\)によってインデュースト（誘導された）\(U_\alpha\)のサブスペース（部分空間）トポロジー内でオープン（開）であるから、\(U_1 \cap U_\alpha \subseteq U_\alpha\)は、\(O_2\)によってインデュースト（誘導された）サブスペース（部分集合）トポロジー内でオープン（開）である、仮定によって。\(U_\alpha \subseteq S\)は\(O_2\)内でオープン（開）であるから、\(U_1 \cap U_\alpha \subseteq S\)は\(O_2\)内でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
したがって、\(U_1\)は本当に\(O_2\)内でオープン（開）である。
ステップ2:
同様に、\(O_2\)内の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_2 \subseteq S\)は\(O_1\)内でオープン（開）である、対称性によって。
ステップ3:
ステップ1とステップ2は、\(O_1 = O_2\)を意味する。
ステップ4:
\(O_1 = O_2\)であると仮定しよう。
勿論、ある共通オープンカバー（開被覆）がある。
勿論、一方のトポロジーにおける当該カバー（被覆）の各要素の各オープンサブセット（開部分集合）は他方のトポロジーにおいてオープン（開）である。
