796: 周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である

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周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$で、$T\subseteq T^{\prime }$を満たすもの
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ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }t\in T(\mathrm{\exists }{U}_t^{\prime }\in \{t\text{ の }{T}^{\prime }\text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}(U_t^{\prime }\cap T\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\wedge U_t^{\prime }\cap T\subseteq T\text{ 、 }T\text{ のサブスペース（部分空間）として }=U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }\text{ 、 }{U}_t^{\prime }\text{ のサブスペース（部分空間）として }))$
$⟹$
$T\in \{T^{\prime }\text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}$
//

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2: 注

本記事内では、$U_t^{\prime }\cap T\subseteq T$は、$U_t^{\prime }\cap T$の、$T$のサブスペース（部分空間）としてのトポロジーを持つものを表わす; $U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }$は、$U_t^{\prime }\cap T$の、$U_t^{\prime }$のサブスペース（部分空間）としてのトポロジーを持つものを表わす。それらは一般的には異なるものである、なぜなら、$U_t^{\prime }\cap T\subseteq T$は$T$のトポロジーに基づいている、その一方、$U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }$は$U_t^{\prime }$（それは、$T^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である）のトポロジーに基づいている。

有益な1つの参照例は、${\mathbb{R}}^2$内の包含された8の字、原点を中心とする、である: 原点からの2つカーブたちは、原点へ無限に近づくが到達しない。

それは、${\mathbb{R}}^2$のトポロジカルサブスペース（部分空間）ではない、なぜなら、原点のあるオープンネイバーフッド（開近傍）（カーブとしての）は、${\mathbb{R}}^2$のオープンサブセット（部分集合）と当該8の字のインターセクション（共通集合）ではない: 原点の周りの${\mathbb{R}}^2$上における任意のオープンボール（開球）は、不可避に、8の字の、原点に近づく2端たちを含む。

本命題が特に"周囲スペース（空間）的に"と言う理由は、"スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）"は当該結論を保証しない: 原点の先ほどのオープンネイバーフッド（開近傍）は${\mathbb{R}}^2$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である: 原点の当該オープンネイバーフッド（開近傍）は8の字の2端たちを除外するので、それは、トポロジカルサブスペース（部分空間）になる、しかし、それは、$T$が$T^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを証明するためには許されない。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $U\subseteq T$は$T$の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう、そして、$T^{\prime }$の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$、つまり、$U=U^{\prime }\cap T$、を見つける; ステップ2: $U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとし、$U^{\prime }\cap T$が$T$のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$U\subseteq T$は$T$の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$T^{\prime }$の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$、つまり、$U=U^{\prime }\cap T$、を見つけよう。

注意として、$U_t^{\prime }$は、各$t\in T$に対して本命題の条件たちにしたがって選ばれたものである。

$T\subseteq {\cup }_{t\in T}{U}_t^{\prime }$。したがって、$U=U\cap {\cup }_{t\in T}{U}_t^{\prime }={\cup }_{t\in T}(U\cap U_t^{\prime })$、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。

$U\cap U_t^{\prime }=U\cap U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }\cap T$は$U_t^{\prime }\cap T\subseteq T$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$U$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）である。

仮定によって、$U\cap U_t^{\prime }$は$U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である。それが意味するのは、$U_t^{\prime }$の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）$U_t^{″}\subseteq U_t^{\prime }$、つまり、$U\cap U_t^{\prime }=U_t^{″}\cap U_t^{\prime }\cap T$、があるということ。ここで、$U_t^{″}$は$T^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって、したがって、$U_t^{″}\cap U_t^{\prime }$は$T^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である。

さて、$U={\cup }_{t\in T}(U\cap U_t^{\prime })={\cup }_{t\in T}(U_t^{″}\cap U_t^{\prime }\cap T)={\cup }_{t\in T}(U_t^{″}\cap U_t^{\prime })\cap T$、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。しかし、$U^{\prime }:={\cup }_{t\in T}(U_t^{″}\cap U_t^{\prime })$は$T^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である、そして、$U=U^{\prime }\cap T$。

ステップ2:

$U^{\prime }\subseteq T^{\prime }$は$T^{\prime }$の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。

$U^{\prime }\cap T$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）であることを見よう。

$U^{\prime }\cap T=U^{\prime }\cap T\cap {\cup }_{t\in T}{U}_t^{\prime }$、なぜなら、$T\subseteq {\cup }_{t\in T}{U}_t^{\prime }$、$={\cup }_{t\in T}(U^{\prime }\cap T\cap U_t^{\prime })$、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、$={\cup }_{t\in T}((U^{\prime }\cap U_t^{\prime })\cap (U_t^{\prime }\cap T))$。

$U^{\prime }\cap U_t^{\prime }$は$U_t^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）であるので、$(U^{\prime }\cap U_t^{\prime })\cap (U_t^{\prime }\cap T)$は$U_t^{\prime }\cap T\subseteq U_t^{\prime }$のオープンサブセット（開部分集合）である。仮定によって、$(U^{\prime }\cap U_t^{\prime })\cap (U_t^{\prime }\cap T)$は$U_t^{\prime }\cap T\subseteq T$のオープンサブセット（開部分集合）である。

$U_t^{\prime }\cap T$は仮定によって$T$のオープンサブセット（開部分集合）であるので、$(U^{\prime }\cap U_t^{\prime })\cap (U_t^{\prime }\cap T)$は$T$のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。

したがって、$U^{\prime }\cap T={\cup }_{t\in T}((U^{\prime }\cap U_t^{\prime })\cap (U_t^{\prime }\cap T))$は$T$上でオープン（開）である。

ステップ3:

ステップ1およびステップ2が示したのは、$T$の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それが、$T^{\prime }$のあるオープンサブセット（開部分集合）と$T$のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ということ、それが意味するのは、$T$は$T^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるということ。

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参考資料

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