周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含された任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、当該スペース（空間）は当該周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、\(T \subseteq T'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t \in T (\exists U'_t \in \{t \text{ の } T' \text{ 上の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (U'_t \cap T \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \land U'_t \cap T \subseteq T \text{ 、 } T \text{ のサブスペース（部分空間）として } = U'_t \cap T \subseteq U'_t \text{ 、 } U'_t \text{ のサブスペース（部分空間）として }))\)
\(\implies\)
\(T \in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 注
本記事内では、\(U'_t \cap T \subseteq T\)は、\(U'_t \cap T\)の、\(T\)のサブスペース（部分空間）としてのトポロジーを持つものを表わす; \(U'_t \cap T \subseteq U'_t\)は、\(U'_t \cap T\)の、\(U'_t\)のサブスペース（部分空間）としてのトポロジーを持つものを表わす。それらは一般的には異なるものである、なぜなら、\(U'_t \cap T \subseteq T\)は\(T\)のトポロジーに基づいている、その一方、\(U'_t \cap T \subseteq U'_t\)は\(U'_t\)（それは、\(T'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である）のトポロジーに基づいている。
有益な1つの参照例は、\(\mathbb{R}^2\)内の包含された8の字、原点を中心とする、である: 原点からの2つカーブたちは、原点へ無限に近づくが到達しない。
それは、\(\mathbb{R}^2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）ではない、なぜなら、原点のあるオープンネイバーフッド（開近傍）（カーブとしての）は、\(\mathbb{R}^2\)のオープンサブセット（部分集合）と当該8の字のインターセクション（共通集合）ではない: 原点の周りの\(\mathbb{R}^2\)上における任意のオープンボール（開球）は、不可避に、8の字の、原点に近づく2端たちを含む。
本命題が特に"周囲スペース（空間）的に"と言う理由は、"スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）"は当該結論を保証しない: 原点の先ほどのオープンネイバーフッド（開近傍）は\(\mathbb{R}^2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である: 原点の当該オープンネイバーフッド（開近傍）は8の字の2端たちを除外するので、それは、トポロジカルサブスペース（部分空間）になる、しかし、それは、\(T\)が\(T'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを証明するためには許されない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(U \subseteq T\)は\(T\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう、そして、\(T'\)の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq T'\)、つまり、\(U = U' \cap T\)、を見つける; ステップ2: \(U' \subseteq T'\)は\(T'\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとし、\(U' \cap T\)が\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(U \subseteq T\)は\(T\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(T'\)の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(U' \subseteq T'\)、つまり、\(U = U' \cap T\)、を見つけよう。
注意として、\(U'_t\)は、各\(t \in T\)に対して本命題の条件たちにしたがって選ばれたものである。
\(T \subseteq \cup_{t \in T} U'_t\)。したがって、\(U = U \cap \cup_{t \in T} U'_t = \cup_{t \in T} (U \cap U'_t)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(U \cap U'_t = U \cap U'_t \cap T \subseteq U'_t \cap T\)は\(U'_t \cap T \subseteq T\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(U\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
仮定によって、\(U \cap U'_t\)は\(U'_t \cap T \subseteq U'_t\)のオープンサブセット（開部分集合）である。それが意味するのは、\(U'_t\)の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(U''_t \subseteq U'_t\)、つまり、\(U \cap U'_t = U''_t \cap U'_t \cap T\)、があるということ。ここで、\(U''_t\)は\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって、したがって、\(U''_t \cap U'_t\)は\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
さて、\(U = \cup_{t \in T} (U \cap U'_t) = \cup_{t \in T} (U''_t \cap U'_t \cap T) = \cup_{t \in T} (U''_t \cap U'_t) \cap T\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。しかし、\(U' := \cup_{t \in T} (U''_t \cap U'_t)\)は\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）である、そして、\(U = U' \cap T\)。
ステップ2:
\(U' \subseteq T'\)は\(T'\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）であるとしよう。
\(U' \cap T\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）であることを見よう。
\(U' \cap T = U' \cap T \cap \cup_{t \in T} U'_t\)、なぜなら、\(T \subseteq \cup_{t \in T} U'_t\)、\(= \cup_{t \in T} (U' \cap T \cap U'_t)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{t \in T} ((U' \cap U'_t) \cap (U'_t \cap T))\)。
\(U' \cap U'_t\)は\(U'_t\)のオープンサブセット（開部分集合）であるので、\((U' \cap U'_t) \cap (U'_t \cap T)\)は\(U'_t \cap T \subseteq U'_t\)のオープンサブセット（開部分集合）である。仮定によって、\((U' \cap U'_t) \cap (U'_t \cap T)\)は\(U'_t \cap T \subseteq T\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(U'_t \cap T\)は仮定によって\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）であるので、\((U' \cap U'_t) \cap (U'_t \cap T)\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。
したがって、\(U' \cap T = \cup_{t \in T} ((U' \cap U'_t) \cap (U'_t \cap T))\)は\(T\)上でオープン（開）である。
ステップ3:
ステップ1およびステップ2が示したのは、\(T\)の任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、それが、\(T'\)のあるオープンサブセット（開部分集合）と\(T\)のインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ということ、それが意味するのは、\(T\)は\(T'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるということ。
