810: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）C∞マニフォールド（多様体）

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\ast intM$: $=\{M\text{ の全てのインテリア（内部）ポイントたち }\}$で、下で指定されるトポロジーおよびアトラスを持つもの
//

コンディションたち:
当該トポロジーは、$M$のトポロジーの以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、当該サブセット（部分集合）の各要素は$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
$\wedge$
当該アトラスは、$M$のアトラスの以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、当該サブセット（部分集合）の各要素のチャートドメイン（定義域）は$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
//

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2: 注

当該"トポロジー"が本当にトポロジーであることを確認しよう。

空集合は、当該"トポロジー"に含まれている、なぜなら、それは、$M$上でオープン（開）であり、$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する（空虚に）。

$intM$は、当該"トポロジー"内に包含されている、なぜなら、$intM\subseteq M$は$M$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、各$p\in IntM$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subset M$、つまり、それは$int{\mathbb{H}}^d$のあるオープンサブセット（開部分集合）へホメオモーフィズム（位相同形写像）である 、がある、しかし、各$p^{\prime }\in U_p$は$intM$のポイントである、なぜなら、$U_p$は$p^{\prime }$のオープンネイバーフッド（開近傍）でもある、したがって、$U_p\subseteq intM$、そして、その一方で、$intM$は$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。

任意のオープンサブセット（開部分集合）たち$\{U_{\alpha }\subset intM|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、${\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$は$intM$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、${\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$は$M$上でオープン（開）であり、$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。

任意のオープンサブセット（開部分集合）たち$U_1,...,U_k\subseteq intM$に対して、$U_1\cap ...\cap U_k$は$intM$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$U_1\cap ...\cap U_k$は$M$上でオープン（開）であり、$M$のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。

当該"アトラス"は本当にアトラスであることを確認しよう。

当該"アトラス"は、$intM$をカバーする、なぜなら、各$p\in intM$の周りに当該"アトラス"内に含まれているあるチャートがある、なぜなら、$M$に対するアトラスに含まれているあるチャート$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$があり、$p$の$intM$上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq intM$があり、$(U_p\cap U_p^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_p{|}_{U_p\cap U_p^{\prime }})$は$M$に対するチャートであり、$U_p\cap U_p^{\prime }\subseteq intM$、したがって、それは当該"アトラス"内のチャートである。

当該"アトラス"内の任意の2チャートたちは$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルである、なぜなら、それらは、$M$に対するアトラス内で$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルでる。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルチャートは既に当該"アトラス"に追加されている、なぜなら、もしも、当該"アトラス"に対して$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルなあるチャートがあれば、当該チャートは$M$に対するアトラスに対して$C^{\mathrm{\infty }}$コンパチブルである、したがって、当該チャートは$M$に対するアトラスから既に継承されている。

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参考資料

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