\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、（空かもしれない）バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(*int M\): \(= \{M \text{ の全てのインテリア（内部）ポイントたち }\}\)で、下で指定されるトポロジーおよびアトラスを持つもの
//
コンディションたち:
当該トポロジーは、\(M\)のトポロジーの以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、当該サブセット（部分集合）の各要素は\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
\(\land\)
当該アトラスは、\(M\)のアトラスの以下を満たすサブセット（部分集合）、つまり、当該サブセット（部分集合）の各要素のチャートドメイン（定義域）は\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
//
2: 注
当該"トポロジー"が本当にトポロジーであることを確認しよう。
空集合は、当該"トポロジー"に含まれている、なぜなら、それは、\(M\)上でオープン（開）であり、\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する（空虚に）。
\(int M\)は、当該"トポロジー"内に包含されている、なぜなら、\(int M \subseteq M\)は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、各\(p \in Int M\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subset M\)、つまり、それは\(int \mathbb{H}^d\)のあるオープンサブセット（開部分集合）へホメオモーフィズム（位相同形写像）である 、がある、しかし、各\(p' \in U_p\)は\(int M\)のポイントである、なぜなら、\(U_p\)は\(p'\)のオープンネイバーフッド（開近傍）でもある、したがって、\(U_p \subseteq int M\)、そして、その一方で、\(int M\)は\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
任意のオープンサブセット（開部分集合）たち\(\{U_\alpha \subset int M \vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、に対して、\(\cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)は\(int M\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(\cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)は\(M\)上でオープン（開）であり、\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
任意のオープンサブセット（開部分集合）たち\(U_1, ..., U_k \subseteq int M\)に対して、\(U_1 \cap ... \cap U_k\)は\(int M\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(U_1 \cap ... \cap U_k\)は\(M\)上でオープン（開）であり、\(M\)のインテリア（内部）ポイントたちのみを包含する。
当該"アトラス"は本当にアトラスであることを確認しよう。
当該"アトラス"は、\(int M\)をカバーする、なぜなら、各\(p \in int M\)の周りに当該"アトラス"内に含まれているあるチャートがある、なぜなら、\(M\)に対するアトラスに含まれているあるチャート\((U_p \subseteq M, \phi_p)\)があり、\(p\)の\(int M\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq int M\)があり、\((U_p \cap U'_p \subseteq M, \phi_p \vert_{U_p \cap U'_p})\)は\(M\)に対するチャートであり、\(U_p \cap U'_p \subseteq int M\)、したがって、それは当該"アトラス"内のチャートである。
当該"アトラス"内の任意の2チャートたちは\(C^\infty\)コンパチブルである、なぜなら、それらは、\(M\)に対するアトラス内で\(C^\infty\)コンパチブルでる。
任意の\(C^\infty\)コンパチブルチャートは既に当該"アトラス"に追加されている、なぜなら、もしも、当該"アトラス"に対して\(C^\infty\)コンパチブルなあるチャートがあれば、当該チャートは\(M\)に対するアトラスに対して\(C^\infty\)コンパチブルである、したがって、当該チャートは\(M\)に対するアトラスから既に継承されている。
