820: セット（集合）のインターセクション（共通集合）

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セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\ast \cap S$: $=\{p\in \cup S|\mathrm{\forall }s\in S(p\in s)\}$, $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

コンディションたち:
//

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2: 注

$\cap S$は本当にセット（集合）である、ZFCセット（集合）理論において、ユニオン（和集合）公理およびサブセット（部分集合）公理によって。

頻繁に見受けられる$S_1\cap S_2$や${\cap }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$のような表現たちは、実のところ、$S_1\cap S_2:=\cap \{S_1,S_2\}$および${\cap }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }:=\cap \{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$である: $A$がセット（集合）である時、$\{S_{\alpha }|\alpha \in A\}$はセット（集合）である、リプレイスメント（交換）公理によって。

${\cap }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$、ここで、$A=\{p\}$、という特殊ケースは、$\cap S_p$として表現することはできない、なぜなら、${\cap }_{\alpha \in A}{S}_{\alpha }$は、$\cap \{S_p\}=S_p$であって$\cap S_p$でない。

$\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、$\cup \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$。

$p\in \cap S⟺\mathrm{\forall }{p}^{\prime }\in S(p\in p^{\prime })$のように定義することはできない、なぜなら、$S=\mathrm{\varnothing }$である時、$\mathrm{\forall }{p}^{\prime }\in S(p\in p^{\prime })$は空虚に満たされることになるが、$p$はどこから来ることになるのか？

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参考資料

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