セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\(*\cap S\): \(= \{p \in \cup S \vert \forall s \in S (p \in s)\}\), \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(\cap S\)は本当にセット（集合）である、ZFCセット（集合）理論において、ユニオン（和集合）公理およびサブセット（部分集合）公理によって。
頻繁に見受けられる\(S_1 \cap S_2\)や\(\cap_{\alpha \in A} S_\alpha\)のような表現たちは、実のところ、\(S_1 \cap S_2 := \cap \{S_1, S_2\}\)および\(\cap_{\alpha \in A} S_\alpha := \cap \{S_\alpha \vert \alpha \in A\}\)である: \(A\)がセット（集合）である時、\(\{S_\alpha \vert \alpha \in A\}\)はセット（集合）である、リプレイスメント（交換）公理によって。
\(\cap_{\alpha \in A} S_\alpha\)、ここで、\(A = \{p\}\)、という特殊ケースは、\(\cap S_p\)として表現することはできない、なぜなら、\(\cap_{\alpha \in A} S_\alpha\)は、\(\cap \{S_p\} = S_p\)であって\(\cap S_p\)でない。
\(\cap \emptyset = \emptyset\)、なぜなら、\(\cup \emptyset = \emptyset\)。
\(p \in \cap S \iff \forall p' \in S (p \in p')\)のように定義することはできない、なぜなら、\(S = \emptyset\)である時、\(\forall p' \in S (p \in p')\)は空虚に満たされることになるが、\(p\)はどこから来ることになるのか？
