\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M'_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{M'_1 \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f'\): \(: M_1 \to M_2, m \mapsto f (m)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f' \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'\)はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2: \(f'\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: \(f'\)は\(C^\infty\)イマージョンであることを見る; ステップ4: \(f'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f'': M_1 \to f' (M_1)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f'\)はインジェクティブ（単射）である、\(f\)がそうであるから。
ステップ2:
\(\iota: M_1 \to M'_1\)を当該インクルージョン（封入）であるとする。
\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、なぜなら、\(M_1\)は\(M'_1\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである。
\(f' = f \circ \iota\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
ステップ3
当該ディファレンシャルは\(d f' = d f \circ d \iota\)である。\(d \iota\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。\(d f\)はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、\(f\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。したがって、\(d f'\)はインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(f'\)は\(C^\infty\)イマージョンである。
ステップ4:
\(f'': M_1 \to f' (M_1)\)を\(f'\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
\(f''\)はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見よう。
\(\iota': M_1 \to \iota (M_1)\)を\(\iota\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、\(\iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
\(f''': \iota (M_1) \to f (\iota (M_1))\)を\(f\)のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう、それは、ホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、\(f\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(f'' = f''' \circ \iota'\)、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、ホメオモーフィズム（位相同形写像）たちのコンポジション（合成）として。
ステップ5:
したがって、\(f'\)は、インジェクティブ（単射）\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）でそのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形写像）であるものである、それが意味するのは、\(f'\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるということ。
3: 注
即座の系として、\(M_1\)がオープン（開）サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、である時、\(f'\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である: 任意のオープン（開）サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、は、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
