821: $C^\infty$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の$C^\infty$エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は$C^\infty$エンベディング（埋め込み）である|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の $C^{\infty}$ エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は $C^{\infty}$ エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M_{1}^{'}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f

: M_{1}^{'} \to M_{2}

\in {全ての C^{\infty} エンベディング（埋め込み）たち}

M_{1}

\in {M_{1}^{'} の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f^{'}

: M_{1} \to M_{2}, m \mapsto f (m)

//

ステートメント（言明）たち:

f^{'} \in {全ての C^{\infty} エンベディング（埋め込み）たち}

2: 証明

全体戦略: ステップ1:

f^{'}

はインジェクティブ（単射）であることを見る; ステップ2:

f^{'}

は

C^{\infty}

であることを見る; ステップ3:

f^{'}

は

C^{\infty}

イマージョンであることを見る; ステップ4:

f^{'}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）

f^{″} : M_{1} \to f^{'} (M_{1})

はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。

ステップ1:

f^{'}

はインジェクティブ（単射）である、

f

がそうであるから。

ステップ2:

ι : M_{1} \to M_{1}^{'}

を当該インクルージョン（封入）であるとする。

ι

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である、なぜなら、

M_{1}

は

M_{1}^{'}

のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである。

f^{'} = f \circ ι

は

C^{\infty}

である、任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて

C^{k}

であるものたち、ここで、

k

は

\infty

を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて

C^{k}

であるという命題によって。

ステップ3

当該ディファレンシャルは

d f^{'} = d f \circ d ι

である。

d ι

はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、

ι

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である。

d f

はインジェクティブ（単射）である、なぜなら、

f

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である。したがって、

d f^{'}

はインジェクティブ（単射）である。

したがって、

f^{'}

は

C^{\infty}

イマージョンである。

ステップ4:

f^{″} : M_{1} \to f^{'} (M_{1})

を

f^{'}

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

f^{″}

はホメオモーフィック（位相同形写像）であることを見よう。

ι^{'} : M_{1} \to ι (M_{1})

を

ι

のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、

ι

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である。

f^{‴} : ι (M_{1}) \to f (ι (M_{1}))

を

f

のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう、それは、ホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、

f

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。

f^{″} = f^{‴} \circ ι^{'}

、それはホメオモーフィック（位相同形写像）である、ホメオモーフィズム（位相同形写像）たちのコンポジション（合成）として。

ステップ5:

したがって、

f^{'}

は、インジェクティブ（単射）

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）でそのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形写像）であるものである、それが意味するのは、

f^{'}

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）であるということ。

3: 注

即座の系として、

M_{1}

がオープン（開）サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、である時、

f^{'}

は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である: 任意のオープン（開）サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、は、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。

参考資料