グループ（群）のセンター（中心）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のセンター（中心）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(*Z (G)\): \(= \{g \in G \vert \forall g' \in G (g' g g'^{-1} = g)\}\), \(\in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(Z (G)\)は本当に\(G\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であることを見よう。
各\(g_1, g_2 \in Z (G)\)に対して、\(g_1 g_2 \in Z (G)\)、なぜなら、各\(g' \in G\)に対して、\(g' g_1 g_2 g'^{-1} = g' g_1 g'^{-1} g' g_2 g'^{-1} = g_1 g_2\)。\(1 \in Z (G)\)、なぜなら、各\(g' \in G\)に対して、\(g' 1 g'^{-1} = 1\)。各\(g \in Z (G)\)に対して、\(g^{-1} \in Z (G)\)、なぜなら、\(g' g g'^{-1} = g\)であるから、\((g' g g'^{-1})^{-1} = g^{-1}\)、しかし、\((g' g g'^{-1})^{-1} = g' g^{-1} g'^{-1}\)。アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは周囲\(G\)内で成立する。したがって、\(Z (G)\)は\(G\)のサブグループ（部分群）である。
各\(g' \in G\)に対して、\(g' Z (G) g'^{-1} = Z (G)\)、なぜなら、各\(g \in Z (G)\)に対して、\(g' g g'^{-1} = g\)、グループ（群）のセンター（中心）の定義によって。
