843: グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）であることのの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）およびその任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）に対する任意のグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$g^{\prime }$: $\in G^{\prime }$
$f_{g^{\prime }}$: $:G\to g^{\prime }G{g}^{\prime -1}$, $=G\text{ に対する }{g}^{\prime }\text{ によるコンジュゲーション }$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_{g^{\prime }}\in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 注

任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題と比較のこと、それは、グループ（群）全体,に対するコンジュゲーションに関するものである、それに対して、本命題は、あるサブグループ（部分群）に対するコンジュゲーションに関するものである。本命題は、その命題から自然に予期されるものであるが、確実を期すために証明しよう。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $g^{\prime }G{g}^{\prime -1}$はグループ（群）であることを見る; ステップ2: $f_{g^{\prime }}$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ3: $f_{g^{\prime }}$はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。

ステップ1:

$g^{\prime }G{g}^{\prime -1}$は本当にグループ（群）である、なぜなら、それは、サブグループの、要素によるコンジュゲートサブグループ（部分群）である: サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義に対する"注"を参照。

ステップ2:

$f_{g^{\prime }}$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。

各$g_1,g_2\in G$に対して、$f_{g^{\prime }}(g_1{g}_2)=g^{\prime }{g}_1{g}_2{g}^{\prime -1}=g^{\prime }{g}_1{g}^{\prime -1}{g}^{\prime }{g}_2{g}^{\prime -1}=f_{g^{\prime }}(g_1)f_{g^{\prime }}(g_2)$。

$f_{g^{\prime }}$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

ステップ3:

$f_{g^{\prime }}$はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。

$g_1,g_2\in G$は、$g_1\ne g_2$を満たす任意のものとしよう。$f_{g^{\prime }}(g_1)=f_{g^{\prime }}(g_2)$であると仮定しよう。$g^{\prime }{g}_1{g}^{\prime -1}=g^{\prime }{g}_2{g}^{\prime -1}$、$g_1=g^{\prime -1}{g}^{\prime }{g}_1{g}^{\prime -1}{g}^{\prime }=g^{\prime -1}{g}^{\prime }{g}_2{g}^{\prime -1}{g}^{\prime }=g_2$、矛盾。したがって、$f_{g^{\prime }}(g_1)\ne f_{g^{\prime }}(g_2)$。したがって、$f_{g^{\prime }}$はインジェクティブ（単射）である。

$f_{g^{\prime }}$はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、コドメイン（余域）はレンジ（値域）であるよう決定されている。

ステップ4:

$f_{g^{\prime }}$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）である任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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