グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）であることのの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）およびその任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）に対する任意のグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(g'\): \(\in G'\)
\(f_{g'}\): \(: G \to g' G g'^{-1}\), \(= G \text{ に対する } g' \text{ によるコンジュゲーション }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_{g'} \in \{\text{ 全ての'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 注
任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題と比較のこと、それは、グループ（群）全体,に対するコンジュゲーションに関するものである、それに対して、本命題は、あるサブグループ（部分群）に対するコンジュゲーションに関するものである。本命題は、その命題から自然に予期されるものであるが、確実を期すために証明しよう。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g' G g'^{-1}\)はグループ（群）であることを見る; ステップ2: \(f_{g'}\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ3: \(f_{g'}\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(g' G g'^{-1}\)は本当にグループ（群）である、なぜなら、それは、サブグループの、要素によるコンジュゲートサブグループ（部分群）である: サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義に対する"注"を参照。
ステップ2:
\(f_{g'}\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
各\(g_1, g_2 \in G\)に対して、\(f_{g'} (g_1 g_2) = g' g_1 g_2 g'^{-1} = g' g_1 g'^{-1} g' g_2 g'^{-1} = f_{g'} (g_1) f_{g'} (g_2)\)。
\(f_{g'}\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
ステップ3:
\(f_{g'}\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。
\(g_1, g_2 \in G\)は、\(g_1 \neq g_2\)を満たす任意のものとしよう。\(f_{g'} (g_1) = f_{g'} (g_2)\)であると仮定しよう。\(g' g_1 g'^{-1} = g' g_2 g'^{-1}\)、\(g_1 = g'^{-1} g' g_1 g'^{-1} g' = g'^{-1} g' g_2 g'^{-1} g' = g_2\)、矛盾。したがって、\(f_{g'} (g_1) \neq f_{g'} (g_2)\)。したがって、\(f_{g'}\)はインジェクティブ（単射）である。
\(f_{g'}\)はサージェクティブ（全射）である、なぜなら、コドメイン（余域）はレンジ（値域）であるよう決定されている。
ステップ4:
\(f_{g'}\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）である任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
