853: ダイヘドラルグループ（二面体群）

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ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$g$: $\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}$
$h$: $\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}$
$\ast D_n$: $=\{[1],[g],...,[g^{n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{n-1}]\}$、ここで、別名たちとして、$[1]=[g^0],[g]=[g^1],[h]=[h{g}^0],[hg]=[h{g}^1]$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$で、下で指定されるグループ（群）オペレーションを持つもの
$f$: $:\mathbb{Z}\to \{0,...,n-1\},j\mapsto m\text{ 、ここで、 }j=nl+m\text{ 、ここで、 }l,m\in \mathbb{Z}\text{ および }0\le m<n$
//

コンディションたち:
$[g^j][g^k]=[g^{f(j+k)}]$
$\wedge$
$[g^j][h{g}^k]=[h{g}^{f(-j+k)}]$
$\wedge$
$[h{g}^j][g^k]=[h{g}^{f(j+k)}]$
$\wedge$
$[h{g}^j][h{g}^k]=[g^{f(-j+k)}]$
//

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2: 注

そうしたかぎ括弧たち$[]$を用いる目的は、単一要素$[h{g}^k]$をマルチプリケーション（積）$[h][g^k]$から区別すること、例えば: ここでのロジックは、第1に、セット（集合）$\{[1],[g],...,[g^{n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{n-1}]\}$を、互いに異なるオブジェクトたちのセット（集合）として定義し、第2に、当該セット（集合）にグループ（群）オペレーションを定義するというもの: $[h{g}^k]$は当該要素を特定する単なるシンボルでしかなく、マルチプリケーション（積）（それは、第1ステップにおいてはまだ定義されていない）ではない。勿論、そういうシンボルが選ばれている理由は、$[h{g}^k]$は結局のところ$[h][g^k]$に等しくなるということ。

それら別名たちの目的は、グループ（群）オペレーションの指定を簡略化するというだけのものである: それら別名たちが無ければ、$[g^j][h]$に対する追加の指定を書く必要がでてくることになる、例えば。

一部の人々は、それを$D_{2n}$と記す。

ある定義は、$2\le n$を要求する。

簡潔に言うと、$f$は引数の$n$で割った余り（非負）を取る、それ（余り）はユニークに決定される。

別の定義は、$g,h$の存在、$g^n=1$、$h^2=1$、$gh=h{g}^{-1}$と宣言し、グループ（群）オペレーションを、アソシアティビティ（結合性）を満たすように誘導させる、それは、可能かもしれない、しかし、当該グループ（群）が本当に$\{1,g,...,g^{n-1},h,hg,...,h{g}^{n-1}\}$から成ること、そして、当該グループ（群）オペレーションが本当に無矛盾であることを確認しなければならなくなるだろう: あるマルチプリケーション（積）は複数の方法で誘導されることができ、それらの全ては同一の結果を与えるだろうか？例えば、$(gh)g=(h{g}^{-1})g=h(g^{-1}g)=h1=h$で$(gh)g=g(hg)=g(g^{-1}h)=(g{g}^{-1})h=1h=h$、それは確かに無矛盾であったが、それを一般的に証明しなければならなくなるだろう。

それに代えて、私たちの定義は、$D_n$のセット（集合）を明示的に$\{[1],[g],...,[g^{n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{n-1}]\}$と宣言する（したがって、要素たちが実際にそれらであることをチェックする必要がない）、そして、明示的にグループ（群）オペレーションを指定する（したがって、無矛盾性をチェックする必要がない）、そして、既に定義された当該オペレーションに関してアソシアティビティ（結合性）をチェックする、その方が、私たちにはより直線的であるように思われる: セット（集合）を定義し、次に、グループ（群）オペレーションを指定するというのは、グループ（群）を定義するためのスタンダードな方法である。

それがウェルデファインド（妥当に定義された）（それは本当にグループ（群）である）であることを確認しよう。

$D_n$は、当該オペレーションの下で閉じている、なぜなら、当該定義は、明示的に各結果を$D_n$内に指定した。

$[1]=[g^0]$は本当に$1$である: $[g^0][g^k]=[g^{f(k)}]=[g^k]$; $[g^j][g^0]=[g^{f(j)}]=[g^j]$; $[g^0][h{g}^k]=[h{g}^{f(k)}]=[h{g}^k]$; $[h{g}^j][g^0]=[h{g}^{f(j)}]=[h{g}^j]$。

各要素はインバース（逆）を持つことを見よう。

$[1{]}^{-1}=[1]$。

$0<j<n$に対して、$[g^j{]}^{-1}=[g^{n-j}]$、なぜなら、$[g^j][g^{n-j}]=[g^{n-j}][g^j]=[g^{f(j+n-j)}]=[g^{f(n)}]=[g^0]=[1]=1$、なぜなら、$n=n1+0$。

$0\le j<n$に対して、$[h{g}^j{]}^{-1}=[h{g}^j]$、なぜなら、$[h{g}^j][h{g}^j]=[g^{f(-j+j)}]=[g^{f(0)}]=[g^0]=[1]=1$。

アソシアティビティ（結合性）をチェックしよう。

準備として、$f(f(j)+k)=f(j+k)$および$f(-f(j)+k)=f(-j+k)$であることを見よう。

$j=nl+f(j)$。$j+k=nl+f(j)+k$。したがって、$j+k$の余りと$f(j)+k$の余りは同一である、なぜなら、$j+k$の$f(j)+k$からの差異は$n$の倍数である、それが意味するのは、$f(f(j)+k)=f(j+k)$。

$j=nl+f(j)$。$-j=n(-l)-f(j)$。$-j+k=n(-l)-f(j)+k$。したがって、$-j+k$の余りと$-f(j)+k$の余りは同一である、なぜなら、$-j+k$の$-f(j)+k$からの差異は$n$の倍数である、それが意味するのは、$f(-j+k)=f(-f(j)+k)$。

$j,k,l\in \mathbb{N}$は$0\le j,k,l<n$である任意のものたちとしよう、これ以降。

$([g^j][g^k])[g^l]=[g^{f(j+k)}][g^l]=[g^{f(f(j+k)+l)}]=[g^{f(j+k+l)}]$、その一方で、$[g^j]([g^k][g^l])=[g^j][g^{f(k+l)}]=[g^{f(j+f(k+l))}]=[g^{f(j+k+l)}]$。

$([h{g}^j][g^k])[g^l]=[h{g}^{f(j+k)}][g^l]=[h{g}^{f(f(j+k)+l)}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([g^k][g^l])=[h{g}^j][g^{f(k+l)}]=[h{g}^{f(j+f(k+l))}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$。

$([g^j][h{g}^k])[g^l]=[h{g}^{f(-j+k)}][g^l]=[h{g}^{f(f(-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-j+k+l)}]$、その一方で、$[g^j]([h{g}^k][g^l])=[g^j][h{g}^{f(k+l)}]=[h{g}^{f(-j+f(k+l))}]=[h{g}^{f(-j+k+l)}]$。

$([g^j][g^k])[h{g}^l]=[g^{f(j+k)}][h{g}^l]=[h{g}^{f(-f(j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-(j+k)+l)}]$、その一方で、$[g^j]([g^k][h{g}^l])=[g^j][h{g}^{f(-k+l)}]=[h{g}^{f(-j+f(-k+l))}]=[h{g}^{f(-j-k+l)}]=[h{g}^{f(-(j+k)+l)}]$。

$([h{g}^j][h{g}^k])[g^l]=[g^{f(-j+k)}][g^l]=[g^{f(f(-j+k)+l)}]=[g^{f(-j+k+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([h{g}^k][g^l])=[h{g}^j][h{g}^{f(k+l)}]=[g^{f(-j+f(k+l))}]=[g^{f(-j+k+l)}]$。

$([g^j][h{g}^k])[h{g}^l]=[h{g}^{f(-j+k)}][h{g}^l]=[g^{f(-f(-j+k)+l)}]=[g^{f(-(-j+k)+l)}]$、その一方で、$[g^j]([h{g}^k][h{g}^l])=[g^j][g^{f(-k+l)}]=[g^{f(j+f(-k+l))}]=[g^{f(j-k+l)}]=[g^{f(-(-j+k)+l)}]$。

$([h{g}^j][h{g}^k])[h{g}^l]=[g^{f(-j+k)}][h{g}^l]=[h{g}^{f(-f(-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-(-j+k)+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([h{g}^k][h{g}^l])=[h{g}^j][g^{f(-k+l)}]=[h{g}^{f(j+f(-k+l))}]=[h{g}^{f(j-k+l)}]=[h{g}^{f(-(-j+k)+l)}]$。

したがって、アソシアティビティ（結合性）は成立する。

したがって、$D_n$は本当にグループ（群）である。

$[h{g}^j]$は1つのシンボルであると定義されているが、それは実のところ$[h]$と$[g^j]$のマルチプリケーション（積）に等しい、結果として（勿論、その結果を予期していたから、私たちはそのシンボルを特に選んだのだ）。したがって、これまで$[]$を使う労を取ってきたが、$h{g}^j$のような表記たちには実のところ実用上の曖昧さが全くない。

$[g{]}^n=1$、$[h{]}^2=1$、$[g][h]=[h][g{]}^{-1}$は結果として成立する、なぜなら、$[g{]}^n=[g{]}^{n-1}[g^1]=[g^{n-1}][g^1]=[g^{f(n-1+1)}]=[g^{f(n)}]=[g^0]=1$、$[h{]}^2=[h{g}^0][h{g}^0]=[g^{f(-0+0)}]=[g^{f(0)}]=[g^0]=1$、そして、$[gh]=[g^1][h{g}^0]=[h{g}^{f(-1+0)}]=[h{g}^{f(-1)}]=[h{g}^{n-1}]=[h][g^{n-1}]=[h][g{]}^{-1}$: $[g][g^{n-1}]=[g^{n-1}][g]=[g^{f(1+n-1)}]=[g^{f(n)}]=[g^0]=1$。

既にあるセット（集合）$\{[1],[g],...,[g^{n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{n-1}]\}$およびその上のあるグループ（群）オペレーションを持っていると仮定して、それがダイヘドラルグループ（二面体群）であることを確認する十分な方法を見よう: 勿論、オペレーション全体をチェックすることは可能だが、それは面倒であり得る。

グループ（群）オペレーションを持っていると仮定しているので、それは閉じていてアソシアティブ（結合的）であると保証されている、なぜなら、そうでなければ、それはグループ（群）オペレーションではないだろう。アソシアティビティ（結合性）をチェックすること自体が面倒だと思われるかもしれないが、1つの容易なケースは、当該セット（集合）の各要素がマップ（写像）であるように定義され、各マルチプリケーション（積）がマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であるように定義されている場合、それは、アソシアティビティ（結合性）を保証する、なぜなら、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）だから。

さて、以下は、チェックされるべき条件たちの1つの十分なセット（集合）である: 1) $\{[1],[g],...,[g^{n-1}]\}$はシクリック（循環的）である; 2) $\{[1],[h]\}$はシクリック（循環的）である; 3) $[h][g^j]=[h{g}^j]$; 4) $[g][h]=[h{g}^{n-1}]$。

それは本当に十分であることを見よう。

$[g^j][g^k]=[g{]}^j[g{]}^k=[g{]}^{j+k}=[g{]}^{f(j+k)}=[g^{f(j+k)}]$。

$[g^j][h{g}^k]=[g{]}^j[h][g^k]=[g{]}^{j-1}([g][h])[g^k]=[g{]}^{j-1}([h{g}^{n-1}])[g^k]=[g{]}^{j-2}[g][h][g^{n-1}][g^k]=[g{]}^{j-2}([g][h])[g^{n-1}][g^k]=[g{]}^{j-2}([h{g}^{n-1}])[g^{n-1}][g^k]=...=[h{g}^{n-1}][g^{n-1}]...[g^{n-1}][g^k]$、ここで、$j-1$個の$[g^{n-1}]$たちがある、$=[h][g^{n-1}{]}^j[g^k]=[h]([g{]}^{n-1}{)}^j[g{]}^k=[h][g{]}^{(n-1)j+k}=[h][g^{f((n-1)j+k)}]=[h][g^{f(-j+k+nj)}]=[h][g^{f(-j+k)}]=[h{g}^{f(-j+k)}]$。

$[h{g}^j][g^k]=[h][g^j][g^k]=[h]([g{]}^j[g{]}^k)=[h]([g{]}^{j+k})=[h][g^{f(j+k)}]=[h{g}^{f(j+k)}]$。

$[h{g}^j][h{g}^k]=[h][g^j][h{g}^k]=[h]([g^j][h{g}^k])=[h][h{g}^{f(-j+k)}]=[h][h][g^{f(-j+k)}]=([h][h])[g^{f(-j+k)}]=[1][g^{f(-j+k)}]=[g^{f(-j+k)}]$。

したがって、当該オペレーションは、不可避に、$D_n$であるための条件を満たす。

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参考資料

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