854: スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）

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スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$n$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$
$g$: $\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}$
$h$: $\in \{\text{ 全てのオブジェクトたち }\}$
$\ast S{D}_{2n}$: $=\{[1],[g],...,[g^{2n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{2n-1}]\}$、ここで、別名たちとして、$[1]=[g^0],[g]=[g^1],[h]=[h{g}^0],[hg]=[h{g}^1]$, $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$で、下で指定されるグループ（群）オペレーションを持つもの
$f$: $:\mathbb{Z}\to \{0,...,2n-1\},j\mapsto m\text{ 、ここで、 }j=2nl+m\text{ 、ここで、 }l,m\in \mathbb{Z}\text{ および }0\le m<2n$
//

コンディションたち:
$[g^j][g^k]=[g^{f(j+k)}]$
$\wedge$
$[g^j][h{g}^k]=[h{g}^{f(-j+k)}]$
$\wedge$
$[h{g}^j][g^k]=[h{g}^{f(j+k)}]$
$\wedge$
$[h{g}^j][h{g}^k]=[g^{f(n-j+k)}]$
//

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2: 注

"スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）"はスタンダードな用語ではない; 実のところ、著者は、本概念に対するどんな名前も見たことがない（$S{D}_4$は、"クウォタニアン"と呼ばれているようだが）、そこで、著者が1つ作り上げなければならなかった。本用語の理由は、本概念は'ダイヘドラルグループ（二面体群）'に似ているが、ダイヘドラルグループ（二面体群）は$[h{]}^2=[1]$であると指定するが、本概念は$[h{]}^2=[g{]}^n$であると指定する。

そうしたかぎ括弧たち$[]$を用いる目的は、単一要素$[h{g}^k]$をマルチプリケーション（積）$[h][g^k]$から区別すること、例えば: ここでのロジックは、第1に、セット（集合）$\{[1],[g],...,[g^{2n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{2n-1}]\}$を、互いに異なるオブジェクトたちのセット（集合）として定義し、第2に、当該セット（集合）にグループ（群）オペレーションを定義するというもの: $[h{g}^k]$は当該要素を特定する単なるシンボルでしかなく、マルチプリケーション（積）（それは、第1ステップにおいてはまだ定義されていない）ではない。勿論、そういうシンボルが選ばれている理由は、$[h{g}^k]$は結局のところ$[h][g^k]$に等しくなるということ。

それら別名たちの目的は、グループ（群）オペレーションの指定を簡略化するというだけのものである: それら別名たちが無ければ、$[g^j][h]$に対する追加の指定を書く必要がでてくることになる、例えば。

簡潔に言うと、$f$は引数の$2n$で割った余り（非負）を取る、それ（余り）はユニークに決定される。

$S{D}_4$の別の定義は、$g,h$の存在、$g^{2n}=1$、$h^2=g^n$、$g^{-1}h=hg$と宣言し、グループ（群）オペレーションを、アソシアティビティ（結合性）を満たすように誘導させる、それは、可能かもしれない、しかし、当該グループ（群）が本当に$\{1,g,...,g^{2n-1},h,hg,...,h{g}^{2n-1}\}$から成ること、そして、当該グループ（群）オペレーションが本当に無矛盾であることを確認しなければならなくなるだろう: あるマルチプリケーション（積）は複数の方法で誘導されることができ、それらの全ては同一の結果を与えるだろうか？例えば、$(g^{-1}h)g=(hg)g=h(gg)=h{g}^2$で$(g^{-1}h)g=g^{-1}(hg)=g^{-1}(g^{-1}h)=(g^{-1}{g}^{-1})h=g^{-2}h=g^{2}h$であるが、$h{g}^2=g^{2}h$？そして、それを一般的に証明しなければならなくなるだろう。

それに代えて、私たちの定義は、$S{D}_{2n}$のセット（集合）を明示的に$\{[1],[g],...,[g^{2n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{2n-1}]\}$と宣言する（したがって、要素たちが実際にそれらであることをチェックする必要がない）、そして、明示的にグループ（群）オペレーションを指定する（したがって、無矛盾性をチェックする必要がない）、そして、既に定義された当該オペレーションに関してアソシアティビティ（結合性）をチェックする、その方が、私たちにはより直線的であるように思われる: セット（集合）を定義し、次に、グループ（群）オペレーションを指定するというのは、グループ（群）を定義するためのスタンダードな方法である。

それがウェルデファインド（妥当に定義された）（それは本当にグループ（群）である）であることを確認しよう。

$S{D}_{2n}$は、当該オペレーションの下で閉じている、なぜなら、当該定義は、明示的に各結果を$S{D}_{2n}$内に指定した。

$[1]=[g^0]$は本当に$1$である: $[g^0][g^k]=[g^{f(k)}]=[g^k]$; $[g^j][g^0]=[g^{f(j)}]=[g^j]$; $[g^0][h{g}^k]=[h{g}^{f(k)}]=[h{g}^k]$; $[h{g}^j][g^0]=[h{g}^{f(j)}]=[h{g}^j]$。

各要素はインバース（逆）を持つことを見よう。

準備として、$f(f(j)+k)=f(j+k)$、$f(-f(j)+k)=f(-j+k)$、$f(j)=f(j+2n)$であることを見よう。

$j=2nl+f(j)$。$j+k=2nl+f(j)+k$。したがって、$j+k$の余りと$f(j)+k$の余りは同一である、なぜなら、$j+k$の$f(j)+k$からの差異は$2n$の倍数である、それが意味するのは、$f(f(j)+k)=f(j+k)$。

$j=2nl+f(j)$。$-j=2n(-l)-f(j)$。$-j+k=2n(-l)-f(j)+k$。したがって、$-j+k$の余りと$-f(j)+k$の余りは同一である、なぜなら、$-j+k$の$-f(j)+k$からの差異は$2n$の倍数である、それが意味するのは、$f(-j+k)=f(-f(j)+k)$。

$j+2n$の$j$からの差異は$2n$の倍数であるから、$f(j)=f(j+2n)$。

$[1{]}^{-1}=[1]$。

$0<j<2n$に対して、$[g^j{]}^{-1}=[g^{2n-j}]$、なぜなら、$[g^j][g^{2n-j}]=[g^{2n-j}][g^j]=[g^{f(j+2n-j)}]=[g^{f(2n)}]=[g^0]=[1]=1$、なぜなら、$2n=2n1+0$。

$0\le j<2n$に対して、$[h{g}^j{]}^{-1}=[h{g}^{f(n+j)}]$、なぜなら、$[h{g}^j][h{g}^{f(n+j)}]=[g^{f(n-j+f(n+j))}]=[g^{f(n-j+n+j)}]=[g^{f(2n)}]=[g^0]=[1]=1$; $[h{g}^{f(n+j)}][h{g}^j]=[g^{f(n-f(n+j)+j)}]=[g^{f(n-(n+j)+j)}]=[g^{f(0)}]=[g^0]=[1]=1$。

アソシアティビティ（結合性）をチェックしよう。

$j,k,l\in \mathbb{N}$は$0\le j,k,l<2n$である任意のものたちとしよう、これ以降。

$([g^j][g^k])[g^l]=[g^{f(j+k)}][g^l]=[g^{f(f(j+k)+l)}]=[g^{f(j+k+l)}]$、その一方で、$[g^j]([g^k][g^l])=[g^j][g^{f(k+l)}]=[g^{f(j+f(k+l))}]=[g^{f(j+k+l)}]$。

$([h{g}^j][g^k])[g^l]=[h{g}^{f(j+k)}][g^l]=[h{g}^{f(f(j+k)+l)}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$ while $[h{g}^j]([g^k][g^l])=[h{g}^j][g^{f(k+l)}]=[h{g}^{f(j+f(k+l))}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$. $([h{g}^j][g^k])[g^l]=[h{g}^{f(j+k)}][g^l]=[h{g}^{f(f(j+k)+l)}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([g^k][g^l])=[h{g}^j][g^{f(k+l)}]=[h{g}^{f(j+f(k+l))}]=[h{g}^{f(j+k+l)}]$。

$([g^j][h{g}^k])[g^l]=[h{g}^{f(-j+k)}][g^l]=[h{g}^{f(f(-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-j+k+l)}]$、その一方で、$[g^j]([h{g}^k][g^l])=[g^j][h{g}^{f(k+l)}]=[h{g}^{f(-j+f(k+l))}]=[h{g}^{f(-j+k+l)}]$。

$([g^j][g^k])[h{g}^l]=[g^{f(j+k)}][h{g}^l]=[h{g}^{f(-f(j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-(j+k)+l)}]$、その一方で、$[g^j]([g^k][h{g}^l])=[g^j][h{g}^{f(-k+l)}]=[h{g}^{f(-j+f(-k+l))}]=[h{g}^{f(-j-k+l)}]=[h{g}^{f(-(j+k)+l)}]$。

$([h{g}^j][h{g}^k])[g^l]=[g^{f(n-j+k)}][g^l]=[g^{f(f(n-j+k)+l)}]=[g^{f(n-j+k+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([h{g}^k][g^l])=[h{g}^j][h{g}^{f(k+l)}]=[g^{f(n-j+f(k+l))}]=[g^{f(n-j+k+l)}]$。

$([g^j][h{g}^k])[h{g}^l]=[h{g}^{f(-j+k)}][h{g}^l]=[g^{f(n-f(-j+k)+l)}]=[g^{f(n-(-j+k)+l)}]$、その一方で、$[g^j]([h{g}^k][h{g}^l])=[g^j][g^{f(n-k+l)}]=[g^{f(j+f(n-k+l))}]=[g^{f(j+n-k+l)}]=[g^{f(n-(-j+k)+l)}]$。

$([h{g}^j][h{g}^k])[h{g}^l]=[g^{f(n-j+k)}][h{g}^l]=[h{g}^{f(-f(n-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-(n-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-n-(-j+k)+l)}]=[h{g}^{f(-n-(-j+k)+l+2n)}]=[h{g}^{f(n-(-j+k)+l)}]$、その一方で、$[h{g}^j]([h{g}^k][h{g}^l])=[h{g}^j][g^{f(n-k+l)}]=[h{g}^{f(j+f(n-k+l))}]=[h{g}^{f(j+n-k+l)}]=[h{g}^{f(n-(-j+k)+l)}]$。

したがって、アソシアティビティ（結合性）は成立する。

したがって、$S{D}_{2n}$は本当にグループ（群）である。

$[h{g}^j]$は1つのシンボルであると定義されているが、それは実のところ$[h]$と$[g^j]$のマルチプリケーション（積）に等しい、結果として（勿論、その結果を予期していたから、私たちはそのシンボルを特に選んだのだ）。したがって、これまで$[]$を使う労を取ってきたが、$h{g}^j$のような表記たちには実のところ実用上の曖昧さが全くない。

$[g{]}^{2n}=1$、$[h{]}^2=[g{]}^n$、$[g{]}^{-1}[h]=[h][g]$、$[h{]}^2=([g][h]{)}^2$が結果として成立する、なぜなら、$[g{]}^{2n}=[g{]}^{2n-1}[g^1]=[g^{2n-1}][g^1]=[g^{f(2n-1+1)}]=[g^{f(2n)}]=[g^0]=1$、$[h{]}^2=[h{g}^0][h{g}^0]=[g^{f(n-0+0)}]=[g^{f(n)}]=[g^n]=[g{]}^n$、$[g{]}^{-1}[h]=[g^{2n-1}][h{g}^0]=[h{g}^{f(-(2n-1))}]=[h{g}^{f(-2n+1)}]=[h{g}^{f(-2n+1+2n)}]=[h{g}^{f(1)}]=[h{g}^1]=[h][g^1]=[h][g]$: $[g][g^{2n-1}]=[g^{2n-1}][g]=[g^{f(1+2n-1)}]=[g^{f(2n)}]=[g^0]=1$、$([g][h]{)}^2=([g][h])([g][h])=([g]([h][g]))[h]=([g][hg])[h]=[h{g}^{f(-1+1)}][h]=[h{g}^{f(0)}][h]=[h{g}^0][h]=[h][h]$。

私たちは既にあるセット（集合）$\{[1],[g],...,[g^{2n-1}],[h],[hg],...,[h{g}^{2n-1}]\}$およびその上のあるグループ（群）オペレーションを持っていると仮定して、それがスキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）であることを確認する十分なある方法を見よう: 勿論、オペレーション全体をチェックすることはできるが、それは面倒であり得る。

当該グループ（群）オペレーションを既に持っていると仮定しているので、それは閉じていてアソシアティブ（結合的）であると保証されている、なぜなら、そうでなければ、それはグループ（群）オペレーションではないことになる。アソシアティビティ（結合性）をチェックすること自体が面倒だと思われるかもしれないが、1つの容易なケースは、当該セット（集合）の各要素がマップ（写像）であると定義され、各マルチプリケーション（積）がマップ（写像）たちのコンポジション（合成）であると定義されているもの、それは、アソシアティビティ（結合性）を保証する、なぜなら、マップ（写像）たちコンポジションたちはアソシアティブ（結合的）である。

さて、以下は、チェックされるべき条件たちの十分なセット（集合）である: 1) $\{[1],[g],...,[g^{2n-1}]\}$はシクリック（循環的）である; 2) $[h{]}^2=[g^n]$; 3) $[h][g^j]=[h{g}^j]$; 4) $[g][h]=[h{g}^{2n-1}]$。

それは本当に十分であることを見よう。

$[g^j][g^k]=[g{]}^j[g{]}^k=[g{]}^{j+k}=[g{]}^{f(j+k)}=[g^{f(j+k)}]$。

$[g^j][h{g}^k]=[g{]}^j[h][g^k]=[g{]}^{j-1}([g][h])[g^k]=[g{]}^{j-1}([h{g}^{2n-1}])[g^k]=[g{]}^{j-2}[g][h][g^{2n-1}][g^k]=[g{]}^{j-2}([g][h])[g^{2n-1}][g^k]=[g{]}^{j-2}([h{g}^{2n-1}])[g^{2n-1}][g^k]=...=[h{g}^{2n-1}][g^{2n-1}]...[g^{2n-1}][g^k]$、ここで、$j-1$個の$[g^{2n-1}]$たちがある、$=[h][g^{2n-1}{]}^j[g^k]=[h]([g{]}^{2n-1}{)}^j[g{]}^k=[h][g{]}^{(2n-1)j+k}=[h][g^{f((2n-1)j+k)}]=[h][g^{f(-j+k+2nj)}]=[h][g^{f(-j+k)}]=[h{g}^{f(-j+k)}]$。

$[h{g}^j][g^k]=[h][g^j][g^k]=[h]([g{]}^j[g{]}^k)=[h]([g{]}^{j+k})=[h][g^{f(j+k)}]=[h{g}^{f(j+k)}]$。

$[h{g}^j][h{g}^k]=[h][g^j][h{g}^k]=[h]([g^j][h{g}^k])=[h][h{g}^{f(-j+k)}]=[h][h][g^{f(-j+k)}]=([h][h])[g^{f(-j+k)}]=[g^n][g^{f(-j+k)}]=[g^{f(n+f(-j+k))}]=[g^{f(n-j+k)}]$。

したがって、当該オペレーションは、不可避に$S{D}_{2n}$であるための条件を満たす。

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参考資料

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