\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で当該エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち } \}\)
\(M_3\): \(= f (M_1)\)で、\(f\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つもの
\(f'\): \(: M_1 \to f (M_1) \subseteq M_2\), \(= f \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M_3 \in \{M_2 \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
2: 注
"\(f\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラス"が意味するのは、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq M_3\)はオープン（開）である、もしも、\(f'^{-1} (S) \subseteq M_1\)がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、そして、任意の\((U \subseteq M_3, \phi)\)はチャートである、もしも、\((f'^{-1} (U) \subseteq M_1, \phi \circ f')\)がチャートである場合、そしてその場合に限って、ということである。
本命題は、直感的には即座に推測されるものであるが、それを一度厳格に証明して、良心の呵責がないようにしよう。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M_3\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることを見て、\(g: M_1 \to M_3\)を当該ディフェオモーフィズムとする; ステップ2: \(M_3\)は\(M_2\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持っていることを見る; ステップ3: インクルージョン（封入）\(\iota: M_3 \to M_2\)が\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることを見る。
ステップ1:
\(M_3\)は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、なぜなら、それは単に\(M_1\)のポイントたちセット（集合）が置き換えられただけのものである。
\(g: M_1 \to M_3\)を\(f\)のコドメイン（余域）が置き換えられたものとしよう。
\(g\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、\(M_1\)および\(M_3\)は対応するトポロジーたちおよび対応するアトラスたちを持つ、ポイントセット（集合）たちのみが異なって、そして、\(g\)は各ポイントを対応するポイントへマップする: 言い換えると、\(M_3\)は\(d\)をディフェオモーフィックにするように定義された。
ステップ2:
\(M_3\)は\(M_2\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持っていることを見よう。
実際には、\(M_3\)と\(f (M_1) \subseteq M_2\)（トポロジカルサブスペース（部分空間）として）が同一トポロジーを持つことを見よう。
\(U \subseteq M_3\)を\(M_3\)の任意のオープンサブセット（部分集合）としよう。
\(U = f \circ g^{-1} (U)\)、しかし、\(g^{-1} (U)\)は\(M_1\)上でオープン（開）であり、\(f \circ g^{-1} (U)\)は\(f (M_1) \subseteq M_2\)上でオープン（開）である、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義によって。
\(U \subseteq f (M_1) \subseteq M_2\)を\(f (M_1) \subseteq M_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = g \circ f'^{-1} (U)\)、しかし、\(f'^{-1} (U)\)は\(M_1\)上でオープン（開）である、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義によって、そして、\(g \circ f'^{-1} (U)\)は\(M_3\)上でオープン（開）である。
したがって、\(M_3\)と\(f (M_1) \subseteq M_2\)は同一トポロジーを持つ。
\(f (M_1)\)は\(M_2\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つので、\(M_3\)は\(M_2\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ。
ステップ3:
\(\iota: M_3 \to M_2\)をインクルージョン（封入）としよう。
\(\iota = f \circ g^{-1}\)、それは、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、任意のディフェオモーフィズムの後の任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）または任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）後の任意のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。
