852: $C^\infty$エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である|T.B.P.日本語版

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で当該エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

M_{1}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

M_{2}

\in {全ての C^{\infty} マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

f

: M_{1} \to M_{2}

\in {全ての C^{\infty} エンベディング（埋め込み）たち}

M_{3}

= f (M_{1})

で、

f

によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つもの

f^{'}

: M_{1} \to f (M_{1}) \subseteq M_{2}

= f のコドメイン（余域）リストリクション（制限）

//

ステートメント（言明）たち:

M_{3} \in {M_{2} の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち}

2: 注

f

によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラス"が意味するのは、任意のサブセット（部分集合）

S \subseteq M_{3}

はオープン（開）である、もしも、

f^{' - 1} (S) \subseteq M_{1}

がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、そして、任意の

(U \subseteq M_{3}, ϕ)

はチャートである、もしも、

(f^{' - 1} (U) \subseteq M_{1}, ϕ \circ f^{'})

がチャートである場合、そしてその場合に限って、ということである。

本命題は、直感的には即座に推測されるものであるが、それを一度厳格に証明して、良心の呵責がないようにしよう。

3: 証明

全体戦略: ステップ1:

M_{3}

は

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることを見て、

g : M_{1} \to M_{3}

を当該ディフェオモーフィズムとする; ステップ2:

M_{3}

は

M_{2}

のサブスペース（部分空間）トポロジーを持っていることを見る; ステップ3: インクルージョン（封入）

ι : M_{3} \to M_{2}

が

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）であることを見る。

ステップ1:

M_{3}

は

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、なぜなら、それは単に

M_{1}

のポイントたちセット（集合）が置き換えられただけのものである。

g : M_{1} \to M_{3}

を

f

のコドメイン（余域）が置き換えられたものとしよう。

g

はディフェオモーフィズムである、なぜなら、

M_{1}

および

M_{3}

は対応するトポロジーたちおよび対応するアトラスたちを持つ、ポイントセット（集合）たちのみが異なって、そして、

g

は各ポイントを対応するポイントへマップする: 言い換えると、

M_{3}

は

d

をディフェオモーフィックにするように定義された。

ステップ2:

M_{3}

は

M_{2}

のサブスペース（部分空間）トポロジーを持っていることを見よう。

実際には、

M_{3}

と

f (M_{1}) \subseteq M_{2}

（トポロジカルサブスペース（部分空間）として）が同一トポロジーを持つことを見よう。

U \subseteq M_{3}

を

M_{3}

の任意のオープンサブセット（部分集合）としよう。

U = f \circ g^{- 1} (U)

、しかし、

g^{- 1} (U)

は

M_{1}

上でオープン（開）であり、

f \circ g^{- 1} (U)

は

f (M_{1}) \subseteq M_{2}

上でオープン（開）である、

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）の定義によって。

U \subseteq f (M_{1}) \subseteq M_{2}

を

f (M_{1}) \subseteq M_{2}

の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。

U = g \circ f^{' - 1} (U)

、しかし、

f^{' - 1} (U)

は

M_{1}

上でオープン（開）である、

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）の定義によって、そして、

g \circ f^{' - 1} (U)

は

M_{3}

上でオープン（開）である。

したがって、

M_{3}

と

f (M_{1}) \subseteq M_{2}

は同一トポロジーを持つ。

f (M_{1})

は

M_{2}

のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つので、

M_{3}

は

M_{2}

のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ。

ステップ3:

ι : M_{3} \to M_{2}

をインクルージョン（封入）としよう。

ι = f \circ g^{- 1}

、それは、

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）である、任意のディフェオモーフィズムの後の任意の

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）または任意の

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）後の任意のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は

C^{\infty}

エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。

参考資料