グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、\(k\)が、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、\(k\)の倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちであることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該グループ（群）の任意の要素に対して、もしも、\(k\)が、当該要素のそれ乗が当該サブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、\(k\)の倍数たちが、当該要素のそれ乗たちが当該サブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(g'\): \(\in G'\)
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で、\(g'^k \in G \land \forall j \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \text{ で } j \lt k (g'^j \notin G)\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall l \in \mathbb{Z}, \forall j \in \mathbb{N} \text{ で } 0 \le j \lt k \text{ を満たすもの } (g'^{l k + j} \in G \iff j = 0)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m = l k + j\)とし、\(g'^m \in G\)であると仮定し、\(j = 0\)であることを見る; ステップ2: \(m = l k + j\)とし、\(j = 0\)だと仮定し、\(g'^m \in G\)であることを見る。
ステップ1:
\(m = l k + j\)としよう。
注意として、\(m\)たちは全てのインテジャー（整数）たちをカバーする。
\(g'^m \in G\)であると仮定しよう。
\(g'^m = g'^{l k + j} = g'^{l k} g'^j = (g'^k)^l g'^j\)。したがって、\(g'^j = (g'^k)^{- l} (g'^k)^l g'^j = (g'^k)^{- l} g'^m\)。しかし、\(g'^k \in G\)であるから、\((g'^k)^{- l} \in G\)、そして、\(g'^m \in G\)でもあるから、\(g'^j = (g'^k)^{- l} g'^m \in G\)。
\(0 \le j \lt k\)であるから、本命題の仮定によって、\(j = 0\)。
ステップ2:
\(m = l k + j\)としよう。
\(j = 0\)であると仮定しよう。
\(g'^m = g'^{l k + j} = g'^{l k} = (g'^k)^l \in G\)、\(g'^k \in G\)であるから。
