844: グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、kが、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、kの倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちである

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グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、$k$が、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、$k$の倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちであることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のサブグループ（部分群）、当該グループ（群）の任意の要素に対して、もしも、$k$が、当該要素のそれ乗が当該サブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、$k$の倍数たちが、当該要素のそれ乗たちが当該サブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ の全てのサブグループ（部分群）たち }\}$
$g^{\prime }$: $\in G^{\prime }$
$k$: $\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$で、$g^{\prime k}\in G\wedge \mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\text{ で }j<k(g^{\prime j}\notin G)$を満たすもの
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }l\in \mathbb{Z},\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}\text{ で }0\le j<k\text{ を満たすもの }(g^{\prime lk+j}\in G⟺j=0)$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $m=lk+j$とし、$g^{\prime m}\in G$であると仮定し、$j=0$であることを見る; ステップ2: $m=lk+j$とし、$j=0$だと仮定し、$g^{\prime m}\in G$であることを見る。

ステップ1:

$m=lk+j$としよう。

注意として、$m$たちは全てのインテジャー（整数）たちをカバーする。

$g^{\prime m}\in G$であると仮定しよう。

$g^{\prime m}=g^{\prime lk+j}=g^{\prime lk}{g}^{\prime j}=(g^{\prime k}{)}^l{g}^{\prime j}$。したがって、$g^{\prime j}=(g^{\prime k}{)}^{-l}(g^{\prime k}{)}^l{g}^{\prime j}=(g^{\prime k}{)}^{-l}{g}^{\prime m}$。しかし、$g^{\prime k}\in G$であるから、$(g^{\prime k}{)}^{-l}\in G$、そして、$g^{\prime m}\in G$でもあるから、$g^{\prime j}=(g^{\prime k}{)}^{-l}{g}^{\prime m}\in G$。

$0\le j<k$であるから、本命題の仮定によって、$j=0$。

ステップ2:

$m=lk+j$としよう。

$j=0$であると仮定しよう。

$g^{\prime m}=g^{\prime lk+j}=g^{\prime lk}=(g^{\prime k}{)}^l\in G$、$g^{\prime k}\in G$であるから。

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参考資料

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