ファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、\(p\)のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが\(p\)のナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがあることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(p\)-グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のセンター（中心）の定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は\(p\)-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが\(p\)のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意の\(p\)-グループ（群）に対して、そのセンター（中心）はトリビアルでないという命題を認めている。
- 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
- 読者は、コーシーの定理を認めている。
- 読者は、グループ（群）とクオシエント（商）グループ（群）に対するコレスポンデンス（対応）定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、\(p\)のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さい各ナチュラルナンバー（自然数）に対して、当該グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが\(p\)の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限） } p \text{ -グループ（群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists n \in \mathbb{N} (\vert G \vert = p^n)\)
\(\land\)
\(\forall k \in \mathbb{N} \text{ で } 0 \le k \lt n \text{ であるもの } (\exists G_k \in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\} (\vert G_k \vert = p^k))\)
//
2: 証明
全体戦略: インダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: \(\vert G \vert = p^n\)であることを認める; ステップ2: \(k = 0\)に対して証明する; ステップ3: 何らかの\(G_0, ..., G_{l - 1}\)があると仮定し、ある\(G_l\)があることを見る。
ステップ1:
任意のファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、以下を満たすある\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(\vert G \vert = p^n\)、がある、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は\(p\)-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが\(p\)のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、それは本命題の主要点ではなく、準備である。
ステップ2:
\(k = 0\)であると仮定しよう。
\(G_0 := \{1\}\)は、\(G\)の以下を満たすノーマルサブグループ（正規部分群）、つまり、\(\vert G_0 \vert = p^0 = 1\)、である。
ステップ3:
ステップ3戦略: ステップ3-1: \(G_0, ..., G_{l - 1}\)があると仮定する; ステップ3-2: \(G / G_{l - 1}\)を取り、それは\(p\)-グループ（群）であることを見る; ステップ3-3: \(Z (G / G_{l - 1})\)を取り、それは\(p\)-グループ（群）であることを見る; ステップ3-4: \(Z (G / G_{l - 1})\)の以下を満たすあるサブグループ（部分群）\(N\)、つまり、\(\vert N \vert = p\)、を取り。\(N\)は\(G / G_{l - 1}\)のノーマルサブグループ（正規部分群）であることを見る; ステップ3-5: \(G_l := \cup N\)は、\(G\)の以下を満たすあるノーマルサブグループ（正規部分群）、つまり。\(\vert G_l \vert = p^l\)、であることを見る。.
ステップ3-1:
\(G_0, ..., G_{l - 1}\)があると仮定しよう。
ステップ3-2:
クオシエント（商）\(G / G_{l - 1}\)のことを考えよう、それは妥当である、なぜなら、\(G_{l - 1}\)は\(G\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である。
\(\vert G / G_{l - 1} \vert = p^n / p^{l - 1} = p^{n - (l - 1)}\)、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義によって。
したがって、\(G / G_{l - 1}\)は\(p\)-グループ（群）である、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は\(p\)-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが\(p\)のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ3-3:
\(G / G_{l - 1}\)のセンター（中心）\(Z (G / G_{l - 1})\)のことを考えよう。
\(Z (G / G_{l - 1})\)は\(G / G_{l - 1}\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である。
\(1 \lt \vert Z (G / G_{l - 1}) \vert\)、任意の\(p\)-グループ（群）に対して、そのセンター（中心）はトリビアルでないという命題によって、それが意味するのは、\(\vert Z (G / G_{l - 1}) \vert = p^m\)、ある\(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、ラグランジュの定理によって、それが意味するのは、\(Z (G / G_{l - 1})\)は\(p\)-グループ（群）であるということ、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は\(p\)-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが\(p\)のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ3-4:
\(Z (G / G_{l - 1})\)の以下を満たすあるサブグループ（部分群）\(N\)、つまり、\(\vert N \vert = p\)、がある、コーシーの定理によって。
\(N\)は\(G / G_{l - 1}\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、\(N\)はセンター（中心）のサブグループ（部分群）である: 各\(g \in G / G_{l - 1}\)に対して、\(g N g^{-1} = N\)、なぜなら、各\(g' \in N\)に対して、\(g g' g^{-1} = g'\)、なぜなら、\(g' \in Z (G / G_{l - 1})\)。
ステップ3-5:
すると、\(\cup N\)は\(G\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、グループ（群）とクオシエント（商）グループ（群）に対するコレスポンデンス（対応）定理によって。
\(\vert \cup N \vert = \vert G_{l - 1} \vert \vert N \vert = p^{l - 1} p = p^l\)。
したがって、\(G_l := \cup N\)と取ることができる。
