845: ファイナイト（有限）p-グループ（群）に対して、pのその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーがpのナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがある

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ファイナイト（有限）$p$-グループ（群）に対して、$p$のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが$p$のナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがあることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$p$-グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のセンター（中心）の定義を知っている。
• 読者は、セット（集合）のユニオン（和集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は$p$-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが$p$のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意の$p$-グループ（群）に対して、そのセンター（中心）はトリビアルでないという命題を認めている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
• 読者は、コーシーの定理を認めている。
• 読者は、グループ（群）とクオシエント（商）グループ（群）に対するコレスポンデンス（対応）定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）$p$-グループ（群）に対して、$p$のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さい各ナチュラルナンバー（自然数）に対して、当該グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが$p$の当該ナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限） }p\text{ -グループ（群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}(|G|=p^n)$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\text{ で }0\le k<n\text{ であるもの }(\mathrm{\exists }{G}_k\in \{G\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}(|G_k|=p^k))$
//

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2: 証明

全体戦略: インダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: $|G|=p^n$であることを認める; ステップ2: $k=0$に対して証明する; ステップ3: 何らかの$G_0,...,G_{l-1}$があると仮定し、ある$G_l$があることを見る。

ステップ1:

任意のファイナイト（有限）$p$-グループ（群）に対して、以下を満たすある$n\in \mathbb{N}$、つまり、$|G|=p^n$、がある、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は$p$-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが$p$のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、それは本命題の主要点ではなく、準備である。

ステップ2:

$k=0$であると仮定しよう。

$G_0:=\{1\}$は、$G$の以下を満たすノーマルサブグループ（正規部分群）、つまり、$|G_0|=p^0=1$、である。

ステップ3:

ステップ3戦略: ステップ3-1: $G_0,...,G_{l-1}$があると仮定する; ステップ3-2: $G/G_{l-1}$を取り、それは$p$-グループ（群）であることを見る; ステップ3-3: $Z(G/G_{l-1})$を取り、それは$p$-グループ（群）であることを見る; ステップ3-4: $Z(G/G_{l-1})$の以下を満たすあるサブグループ（部分群）$N$、つまり、$|N|=p$、を取り。$N$は$G/G_{l-1}$のノーマルサブグループ（正規部分群）であることを見る; ステップ3-5: $G_l:=\cup N$は、$G$の以下を満たすあるノーマルサブグループ（正規部分群）、つまり。$|G_l|=p^l$、であることを見る。.

ステップ3-1:

$G_0,...,G_{l-1}$があると仮定しよう。

ステップ3-2:

クオシエント（商）$G/G_{l-1}$のことを考えよう、それは妥当である、なぜなら、$G_{l-1}$は$G$のノーマルサブグループ（正規部分群）である。

$|G/G_{l-1}|=p^n/p^{l-1}=p^{n-(l-1)}$、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義によって。

したがって、$G/G_{l-1}$は$p$-グループ（群）である、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は$p$-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが$p$のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

ステップ3-3:

$G/G_{l-1}$のセンター（中心）$Z(G/G_{l-1})$のことを考えよう。

$Z(G/G_{l-1})$は$G/G_{l-1}$のノーマルサブグループ（正規部分群）である。

$1<|Z(G/G_{l-1})|$、任意の$p$-グループ（群）に対して、そのセンター（中心）はトリビアルでないという命題によって、それが意味するのは、$|Z(G/G_{l-1})|=p^m$、ある$m\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$に対して、ラグランジュの定理によって、それが意味するのは、$Z(G/G_{l-1})$は$p$-グループ（群）であるということ、任意のファイナイト（有限）グループ（群）に対して、当該グループ（群）は$p$-グループ（群）である、もしも、当該グループ（群）のオーダーが$p$のあるナチュラルナンバー（自然数）乗である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

ステップ3-4:

$Z(G/G_{l-1})$の以下を満たすあるサブグループ（部分群）$N$、つまり、$|N|=p$、がある、コーシーの定理によって。

$N$は$G/G_{l-1}$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、$N$はセンター（中心）のサブグループ（部分群）である: 各$g\in G/G_{l-1}$に対して、$gN{g}^{-1}=N$、なぜなら、各$g^{\prime }\in N$に対して、$g{g}^{\prime }{g}^{-1}=g^{\prime }$、なぜなら、$g^{\prime }\in Z(G/G_{l-1})$。

ステップ3-5:

すると、$\cup N$は$G$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、グループ（群）とクオシエント（商）グループ（群）に対するコレスポンデンス（対応）定理によって。

$|\cup N|=|G_{l-1}||N|=p^{l-1}p=p^l$。

したがって、$G_l:=\cup N$と取ることができる。

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参考資料

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