847: (n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）である

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(n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
• 読者は、%フィールド（体）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の(n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）を任意のインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$N$: $\in \{\text{ 全ての }(n+n^{\prime })x(n+n^{″})F\text{ インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち }\}$で、右上$nx{n}^{″}$マトリックス（行列が0であるもの
$M$: $\in \{\text{ 全ての }nxnF\text{ インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち }\}$
$\tilde{N}$: $=N\text{ の左上 }nxn\text{ サブマトリックス（部分行列）を }M\text{ で置き換えたもの }$, $\in \{\text{ 全ての }(n+n^{\prime })x(n+n^{″})F\text{ マトリックス（部分行列）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\tilde{N}\in \{\text{ 全てのインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち }\}$
//

"インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）"が意味するのは、当該マトリックス（行列）によってインデュースト（誘導された）カノニカルリニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）であるということ。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意のベクトル$w\in F^{n+n^{″}}$を$w=v+v^{″}$として分解する、ここで、$v$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちは$0$であり、$v^{″}$の$1\sim n$コンポーネントたちは$0$である; ステップ2: 以下を満たす任意の$\tilde{w}=\tilde{v}+\widetilde{v^{″}}$、つまり、$w\ne \tilde{w}$、を取り、$v\ne \tilde{v}$または$v=\tilde{v}\wedge v^{″}\ne \widetilde{v^{″}}$であることを見る; ステップ3: $v\ne \tilde{v}$である時、$\tilde{N}w\ne \tilde{N}\tilde{w}$であることを見る; ステップ4: $v=\tilde{v}\wedge v^{″}\ne \widetilde{v^{″}}$である時、$\tilde{N}{v}^{″}\ne \tilde{N}\widetilde{v^{″}}$で、したがって、$\tilde{N}w\ne \tilde{N}\tilde{w}$であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。

ステップ1:

任意のベクトル$w\in F^{n+n^{″}}$を$w=v+v^{″}$として分解しよう、ここで、$v$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちは$0$であり、$v^{″}$の$1\sim n$コンポーネントたちは$0$である。

ステップ2:

$\tilde{w}\in F^{n+n^{″}}$は以下を満たす任意のもの、つまり、$w\ne \tilde{w}$、としよう。

$\tilde{w}$は分解されて$=\tilde{v}+\widetilde{v^{″}}$となる。

$v\ne \tilde{v}$または$v=\tilde{v}$。

$v=\tilde{v}$である時、$v^{″}\ne \widetilde{v^{″}}$、なぜなら、そうでなければ、$w=v+v^{″}=\tilde{v}+\widetilde{v^{″}}=\tilde{w}$であることになる、矛盾。

ステップ3:

$v\ne \tilde{v}$であると仮定しよう。

$\tilde{N}w=\tilde{N}(v+v^{″})=\tilde{N}v+\tilde{N}{v}^{″}$に対して、$1\sim n$コンポーネントたちは、$\tilde{N}v$からのみ寄与を受ける、なぜなら、$\tilde{N}$の$1\sim n$行たちは、$0$の$n+1\sim n+n^{″}$コンポーネントたちを持ち、$v^{″}$は$0$の$1\sim n$コンポーネントたちを持つ。

$\tilde{N}\tilde{w}$に対しても同様。

$F^{n+n^{″}}$の最初の$F^n$の中へのプロジェクション（射影）を${\pi }_n$と記して、$\tilde{N}v$の$1\sim n$コンポーネントたちは$M{\pi }_n(v)$であり、$\tilde{N}\tilde{v}$の$1\sim n$コンポーネントたちは$M{\pi }_n(\tilde{v})$である。

$M{\pi }_n(v)\ne M{\pi }_n(\tilde{v})$、なぜなら、$M$はインジェクティブ（単射）である。

したがって、$\tilde{N}w\ne \tilde{N}\tilde{w}$。

ステップ4:

$v=\tilde{v}\wedge v^{″}\ne \widetilde{v^{″}}$であると仮定しよう。

私たちは既に、$\tilde{N}{v}^{″}$の$1\sim n$コンポーネントたちおよび$\tilde{N}\widetilde{v^{″}}$の$1\sim n$コンポーネントたちは$0$であることを知っている。

実のところ、$N{v}^{″}$の$1\sim n$コンポーネントたちおよび$N\widetilde{v^{″}}$の$1\sim n$コンポーネントたちも$0$である、同じ理由によって。

$\tilde{N}{v}^{″}$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちは、$N{v}^{″}$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちに等しい、なぜなら、それらは、置き換えられた$nxn$サブマトリックス（部分行列）に依存しない。

同様に、$\tilde{N}\widetilde{v^{″}}$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちは$N\widetilde{v^{″}}$の$n+1\sim n+n^{\prime }$コンポーネントたちに等しい。

したがって、$N{v}^{″}=\tilde{N}{v}^{″}$であり、$N\widetilde{v^{″}}=\tilde{N}\widetilde{v^{″}}$である。

しかし、$N$はインジェクティブ（単射）であるから、$N{v}^{″}\ne N\widetilde{v^{″}}$であり、したがって、$\tilde{N}{v}^{″}=N{v}^{″}\ne N\widetilde{v^{″}}=\tilde{N}\widetilde{v^{″}}$。

したがって、$\tilde{N}w=\tilde{N}v+\tilde{N}{v}^{″}\ne \tilde{N}\tilde{v}+\tilde{N}\widetilde{v^{″}}=\tilde{N}\tilde{w}$。

ステップ5:

したがって、$\tilde{N}w\ne \tilde{N}\tilde{w}$である、いずれにせよ。

したがって、$\tilde{N}$はインジェクティブ（単射）である。

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参考資料

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