(n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、%フィールド（体）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の(n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）を任意のインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全ての } (n + n') x (n + n'') F \text{ インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち } \}\)で、右上\(n x n''\)マトリックス（行列が0であるもの
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n x n F \text{ インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち } \}\)
\(\tilde{N}\): \(= N \text{ の左上 } n x n \text{ サブマトリックス（部分行列）を } M \text{ で置き換えたもの }\), \(\in \{\text{ 全ての } (n + n') x (n + n'') F \text{ マトリックス（部分行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\tilde{N} \in \{\text{ 全てのインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）たち }\}\)
//
"インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）"が意味するのは、当該マトリックス（行列）によってインデュースト（誘導された）カノニカルリニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）であるということ。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のベクトル\(w \in F^{n + n''}\)を\(w = v + v''\)として分解する、ここで、\(v\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちは\(0\)であり、\(v''\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちは\(0\)である; ステップ2: 以下を満たす任意の\(\tilde{w} = \tilde{v} + \tilde{v''}\)、つまり、\(w \neq \tilde{w}\)、を取り、\(v \neq \tilde{v}\)または\(v = \tilde{v} \land v'' \neq \tilde{v''}\)であることを見る; ステップ3: \(v \neq \tilde{v}\)である時、\(\tilde{N} w \neq \tilde{N} \tilde{w}\)であることを見る; ステップ4: \(v = \tilde{v} \land v'' \neq \tilde{v''}\)である時、\(\tilde{N} v'' \neq \tilde{N} \tilde{v''}\)で、したがって、\(\tilde{N} w \neq \tilde{N} \tilde{w}\)であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
任意のベクトル\(w \in F^{n + n''}\)を\(w = v + v''\)として分解しよう、ここで、\(v\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちは\(0\)であり、\(v''\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちは\(0\)である。
ステップ2:
\(\tilde{w} \in F^{n + n''}\)は以下を満たす任意のもの、つまり、\(w \neq \tilde{w}\)、としよう。
\(\tilde{w}\)は分解されて\(= \tilde{v} + \tilde{v''}\)となる。
\(v \neq \tilde{v}\)または\(v = \tilde{v}\)。
\(v = \tilde{v}\)である時、\(v'' \neq \tilde{v''}\)、なぜなら、そうでなければ、\(w = v + v'' = \tilde{v} + \tilde{v''} = \tilde{w}\)であることになる、矛盾。
ステップ3:
\(v \neq \tilde{v}\)であると仮定しよう。
\(\tilde{N} w = \tilde{N} (v + v'') = \tilde{N} v + \tilde{N} v''\)に対して、\(1 \sim n\)コンポーネントたちは、\(\tilde{N} v\)からのみ寄与を受ける、なぜなら、\(\tilde{N}\)の\(1 \sim n\)行たちは、\(0\)の\(n + 1 \sim n + n''\)コンポーネントたちを持ち、\(v''\)は\(0\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちを持つ。
\(\tilde{N} \tilde{w}\)に対しても同様。
\(F^{n + n''}\)の最初の\(F^n\)の中へのプロジェクション（射影）を\(\pi_n\)と記して、\(\tilde{N} v\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちは\(M \pi_n (v)\)であり、\(\tilde{N} \tilde{v}\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちは\(M \pi_n (\tilde{v})\)である。
\(M \pi_n (v) \neq M \pi_n (\tilde{v})\)、なぜなら、\(M\)はインジェクティブ（単射）である。
したがって、\(\tilde{N} w \neq \tilde{N} \tilde{w}\)。
ステップ4:
\(v = \tilde{v} \land v'' \neq \tilde{v''}\)であると仮定しよう。
私たちは既に、\(\tilde{N} v''\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちおよび\(\tilde{N} \tilde{v''}\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちは\(0\)であることを知っている。
実のところ、\(N v''\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちおよび\(N \tilde{v''}\)の\(1 \sim n\)コンポーネントたちも\(0\)である、同じ理由によって。
\(\tilde{N} v''\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちは、\(N v''\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちに等しい、なぜなら、それらは、置き換えられた\(n x n\)サブマトリックス（部分行列）に依存しない。
同様に、\(\tilde{N} \tilde{v''}\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちは\(N \tilde{v''}\)の\(n + 1 \sim n + n'\)コンポーネントたちに等しい。
したがって、\(N v'' = \tilde{N} v''\)であり、\(N \tilde{v''} = \tilde{N} \tilde{v''}\)である。
しかし、\(N\)はインジェクティブ（単射）であるから、\(N v'' \neq N \tilde{v''}\)であり、したがって、\(\tilde{N} v'' = N v'' \neq N \tilde{v''} = \tilde{N} \tilde{v''}\)。
したがって、\(\tilde{N} w = \tilde{N} v + \tilde{N} v'' \neq \tilde{N} \tilde{v} + \tilde{N} \tilde{v''} = \tilde{N} \tilde{w}\)。
ステップ5:
したがって、\(\tilde{N} w \neq \tilde{N} \tilde{w}\)である、いずれにせよ。
したがって、\(\tilde{N}\)はインジェクティブ（単射）である。
