グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、p-グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）および当該ノーマルサブグループ（正規部分群）による当該グループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、当該グループ（群）はp-グループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G'\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{G' \text{ のノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(G' / G\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）グループ（群） }\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G, G' / G \in \{\text{ 全てのp-グループ（群）たち }\}\)
\(\implies\)
\(G' \in \{\text{ 全てのp-グループ（群）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(g' \in G'\)および\((G g')\)を取り、\((G g')\)のオーダーは\(p^n\)であると仮定し、\(g'^{p^n}\)は以下を満たす第1のもの、つまり、\(g'^k \in G\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、であることを見る; ステップ2: \((g'^{p^n})\)のオーダーは\(p^m\)であると仮定し、\((g'^{p^n})^{p^m}\)は、以下を満たす第1のもの。つまり、\(g^k = 1\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、であることを見る。
ステップ1:
各\(g' \in G'\)を取ろう。
\((G g') \in \{\text{ the subgroups of } G' / G\}\)を取ろう。
\((G g')\)のオーダーは\(p^n\)であると仮定しよう: \(G' / G\)はp-グループ（群）である。
\((G g') = \{1, G g', ..., G g'^{p^n - 1}\}\)、ここで、\(G g'^{p^n} = 1\)、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。
それが意味するのは、\(g'^{p^n}\)は以下を満たす第1のもの、つまり、\(g'^k \in G\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\): \(G g'^k = 1\)は\(g'^k \in G\)を意味する。
ステップ2:
\((g')\)のことを考えよう。
\((g') = \{1, g', g'^{-1}, g'^2, g'^{-2}, ...\}\)、それは、重複たちを含むかもしれない。
私たちは既に\(g'^{p^n} \in G\)であることを知っている。
\((g'^{p^n})\)のオーダーは\(p^m\)であると仮定しよう: \(G\)はp-グループ（群）である。
\((g'^{p^n}) = \{1, g'^{p^n}, ..., (g'^{p^n})^{p^m - 1}\}\)、ここで、\((g'^{p^n})^{p^m} = 1\)、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は\(1\)であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。
それが意味するのは、\((g'^{p^n})^{p^m}\)は以下を満たす第1のもの、つまり、\((g'^{p^n})^k = 1\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、であるということ。
\(g'^k = 1\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、であると仮定しよう。
\(k = l p^n + j\)、ここで、\(l \in \mathbb{N}\)および\(j \in \mathbb{N}\)で\(0 \le j \lt p^n\)を満たす、としよう。
\(g'^k = g'^{l p^n + j} = g'^{l p^n} g'^j = 1\)、それが含意するのは、\(j = 0\)、なぜなら、\(g'^j = (g'^{l p^n})^{-1} = g'^{- l p^n} = (g'^{p^n})^{- l} \in G\)、しかし、\(g'^{p^n}\)は以下を満たす第１のもの、つまり、\(g'^k \in G\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、である。
したがって、\(k = l p^n\)、ここで、\(l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)。
しかし、\(p^m \le l\)、なぜなら、\(g^k = g^{l p^n} = (g^{p^n})^l\)、しかし、\((g'^{p^n})^{p^m}\)は以下を満たす第1のもの、つまり、\((g'^{p^n})^k = 1\)、ここで、\(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、である。
\((g'^{p^n})^{p^m} = g'^{p^n p^m} = g'^{p^{n + m}} = 1\)。
したがって、\((g') = \{1, g', ..., g'^{p^{n + m} - 1}\}\)、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題によって。
したがって、\(g'\)のオーダーは\(p^{n + m}\)である、それが意味するのは、\(G'\)はp-グループ（群）であるということ。
