846: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）である

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グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、p-グループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）および当該ノーマルサブグループ（正規部分群）による当該グループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、当該グループ（群）はp-グループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$G$: $\in \{G^{\prime }\text{ のノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
$G^{\prime }/G$: $=\text{ 当該クオシエント（商）グループ（群） }$
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G,G^{\prime }/G\in \{\text{ 全てのp-グループ（群）たち }\}$
$⟹$
$G^{\prime }\in \{\text{ 全てのp-グループ（群）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$g^{\prime }\in G^{\prime }$および$(G{g}^{\prime })$を取り、$(G{g}^{\prime })$のオーダーは$p^n$であると仮定し、$g^{\prime p^n}$は以下を満たす第1のもの、つまり、$g^{\prime k}\in G$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、であることを見る; ステップ2: $(g^{\prime p^n})$のオーダーは$p^m$であると仮定し、$(g^{\prime p^n}{)}^{p^m}$は、以下を満たす第1のもの。つまり、$g^k=1$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、であることを見る。

ステップ1:

各$g^{\prime }\in G^{\prime }$を取ろう。

$(G{g}^{\prime })\in \{\text{ the subgroups of }{G}^{\prime }/G\}$を取ろう。

$(G{g}^{\prime })$のオーダーは$p^n$であると仮定しよう: $G^{\prime }/G$はp-グループ（群）である。

$(G{g}^{\prime })=\{1,G{g}^{\prime },...,G{g}^{\prime p^n-1}\}$、ここで、$G{g}^{\prime p^n}=1$、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。

それが意味するのは、$g^{\prime p^n}$は以下を満たす第1のもの、つまり、$g^{\prime k}\in G$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$: $G{g}^{\prime k}=1$は$g^{\prime k}\in G$を意味する。

ステップ2:

$(g^{\prime })$のことを考えよう。

$(g^{\prime })=\{1,g^{\prime },g^{\prime -1},g^{\prime 2},g^{\prime -2},...\}$、それは、重複たちを含むかもしれない。

私たちは既に$g^{\prime p^n}\in G$であることを知っている。

$(g^{\prime p^n})$のオーダーは$p^m$であると仮定しよう: $G$はp-グループ（群）である。

$(g^{\prime p^n})=\{1,g^{\prime p^n},...,(g^{\prime p^n}{)}^{p^m-1}\}$、ここで、$(g^{\prime p^n}{)}^{p^m}=1$、任意のグループ（群）、その任意のファイナイト（有限）オーダー要素に対して、当該要素のオーダー累乗は$1$であり、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されるという命題によって。

それが意味するのは、$(g^{\prime p^n}{)}^{p^m}$は以下を満たす第1のもの、つまり、$(g^{\prime p^n}{)}^k=1$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、であるということ。

$g^{\prime k}=1$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、であると仮定しよう。

$k=l{p}^n+j$、ここで、$l\in \mathbb{N}$および$j\in \mathbb{N}$で$0\le j<p^n$を満たす、としよう。

$g^{\prime k}=g^{\prime l{p}^n+j}=g^{\prime l{p}^n}{g}^{\prime j}=1$、それが含意するのは、$j=0$、なぜなら、$g^{\prime j}=(g^{\prime l{p}^n}{)}^{-1}=g^{\prime -l{p}^n}=(g^{\prime p^n}{)}^{-l}\in G$、しかし、$g^{\prime p^n}$は以下を満たす第１のもの、つまり、$g^{\prime k}\in G$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、である。

したがって、$k=l{p}^n$、ここで、$l\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$。

しかし、$p^m\le l$、なぜなら、$g^k=g^{l{p}^n}=(g^{p^n}{)}^l$、しかし、$(g^{\prime p^n}{)}^{p^m}$は以下を満たす第1のもの、つまり、$(g^{\prime p^n}{)}^k=1$、ここで、$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$、である。

$(g^{\prime p^n}{)}^{p^m}=g^{\prime p^n{p}^m}=g^{\prime p^{n+m}}=1$。

したがって、$(g^{\prime })=\{1,g^{\prime },...,g^{\prime p^{n+m}-1}\}$、任意のグループ（群）、任意の要素に対して、もしも、あるポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、当該要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、当該要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、当該要素の、当該ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されるという命題によって。

したがって、$g^{\prime }$のオーダーは$p^{n+m}$である、それが意味するのは、$G^{\prime }$はp-グループ（群）であるということ。

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参考資料

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