トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_3\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S_1\): \(\in \{T_1 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S_2\): \(\in \{T_2 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S'_2\): \(\in \{T_2 \text{ の以下を満たす全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)、つまり、\(S_2 \subseteq S'_2\)
\(S_3\): \(\in \{T_3 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(p\): \(\in S_1\)
\(f_1\): \(: S_1 \to S_2\), \(\in \{p \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(f_2\): \(: S'_2 \to S_3\), \(\in \{f_1 (p) \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
\(f_2 \circ f_1\): \(: S_1 \to S_3\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_2 \circ f_1 \in \{p \text{ においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
\(S_2\)および\(S'_2\)が同一\(T_2\)のサブスペース（部分空間）たちであると見なされることが肝要である: もしも、\(f_2\)が、 \(S'_2\)が同一セット（集合）を持つが別のトポロジーを持つ別のトポロジカルスペース（空間）\(T'_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）と見なされてコンティニュアス（連続）である場合、本命題は適用できない。
明らかな例として、もしも、\(T'_2\)に対して異なるトポロジーを選ぶことが許されていたら、私は、\(T'_2\)に対してディスクリートトポロジーを選ぶだろう、それは任意の\(f_2\)をコンティニュアス（連続）にする（任意のディスクリートトポロジカルスペース（空間）からの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である）、そして、本命題は、いかなる\(f_2\)に対しても\(f_2 \circ f_1\)はコンティニュアス（連続）であることを含意することになる、それは、勿論正しくない。
私たちは、コンティニュアスマップ（写像）たちのあるコンポジション（合成）を、本命題の要件たちが満たされている時（\(S_2\)および\(S'_2\)が同一\(T_2\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）たちとみなされ、\(S_2 \subseteq S'_2\)である時）、"コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの妥当なチェーン"と呼ぶことがある。その理由は、私たち（少なくとも私）は、当該要件たちをチェックし忘れる傾向にあること。
3: 証明
全体戦略: \(f_2 \circ f_1 (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f_2 \circ f_1 (p)} \subseteq S_3 \subseteq T_3\)および\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(f_2 \circ f_1 (U_p) \subseteq U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)、を取る; ステップ1: \(f_2 \circ f_1 (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f_2 \circ f_1 (p)} \subseteq S_3 \subseteq T_3\)を取る; ステップ2: \(f_1 (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f_1 (p)} \subseteq S'_2 \subseteq T_2\)、つまり、\(f_2 (U'_{f_1 (p)}) \subseteq U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)、を取る; ステップ3: \(U_{f_1 (p)} := U'_{f_1 (p)} \cap S_2 \subseteq S_2 \subseteq T_2\)を取り、それは\(f_1 (p)\)の\(S_2\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る; ステップ4: \(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(f_1 (U_p) \subseteq U_{f_1 (p)}\)、を取り、\(f_2 \circ f_1 (U_p) \subseteq U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)であることを見る。
ステップ1:
\(f_2 \circ f_1 (p)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{f_2 \circ f_1 (p)} \subseteq S_3 \subseteq T_3\)を取ろう。
ステップ2:
\(f_2\)は\(f_1 (p)\)においてコンティニュアス（連続）であるから、\(f_1 (p)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{f_1 (p)} \subseteq S'_2 \subseteq T_2\)、つまり、\(f_2 (U'_{f_1 (p)}) \subseteq U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)、がある。
ステップ3:
\(U_{f_1 (p)} := U'_{f_1 (p)} \cap S_2 \subseteq S_2 \subseteq T_2\)を取ろう。
\(U_{f_1 (p)}\)は\(f_1 (p)\)の\(S_2\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見よう。
\(U'_{f_1 (p)}\)は\(f_1 (p)\)の\(S'_2\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、\(U'_{f_1 (p)} = U' \cap S'_2\)、ここで、\(U' \subseteq T_2\)は\(T_2\)のオープンサブセット（開部分集合）、である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(U_{f_1 (p)} = U'_{f_1 (p)} \cap S_2 = U' \cap S'_2 \cap S_2 = U' \cap S_2\)、なぜなら、\(S_2 \subseteq S'_2\)。
それが意味するのは、\(U_{f_1 (p)}\)は\(S_2\)のオープンサブセット（開部分集合）であるということ、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(f_1 (p) \in U_{f_1 (p)}\)、なぜなら、\(f_1 (p) \in U'_{f_1 (p)}\)および\(f_1 (p) \in \cap S_2\)である。
したがって、\(U_{f_1 (p)}\)は\(f_1 (p)\)の\(S_2\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ4:
\(f_1\)は\(p\)においてコンティニュアス（連続）であるから、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq S_1 \subseteq T_1\)、つまり、\(f_1 (U_p) \subseteq U_{f_1 (p)}\)、がある。
\(f_2 \circ f_1 (U_p) \subseteq f_2 (U_{f_1 (p)}) \subseteq f_2 (U'_{f_1 (p)}) \subseteq U_{f_2 \circ f_1 (p)}\)。
