848: トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である|T.B.P.日本語版

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トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

開始コンテキスト

読者は、ポイントにおいてコンティヌアス（連続）なマップ（写像）の定義を知っている。
読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

T_{1}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

T_{2}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

T_{3}

\in {全てのトポロジカルスペース（空間）たち}

S_{1}

\in {T_{1} の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち}

S_{2}

\in {T_{2} の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち}

S_{2}^{'}

\in {T_{2} の以下を満たす全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち}

、つまり、

S_{2} \subseteq S_{2}^{'}

S_{3}

\in {T_{3} の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち}

p

\in S_{1}

f_{1}

: S_{1} \to S_{2}

\in {p においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち}

f_{2}

: S_{2}^{'} \to S_{3}

\in {f_{1} (p) においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち}

f_{2} \circ f_{1}

: S_{1} \to S_{3}

//

ステートメント（言明）たち:

f_{2} \circ f_{1} \in {p においてコンティニュアス（連続）な全てのマップ（写像）たち}

2: 注

S_{2}

および

S_{2}^{'}

が同一

T_{2}

のサブスペース（部分空間）たちであると見なされることが肝要である: もしも、

f_{2}

が、

S_{2}^{'}

が同一セット（集合）を持つが別のトポロジーを持つ別のトポロジカルスペース（空間）

T_{2}^{'}

のトポロジカルサブスペース（部分空間）と見なされてコンティニュアス（連続）である場合、本命題は適用できない。

明らかな例として、もしも、

T_{2}^{'}

に対して異なるトポロジーを選ぶことが許されていたら、私は、

T_{2}^{'}

に対してディスクリートトポロジーを選ぶだろう、それは任意の

f_{2}

をコンティニュアス（連続）にする（任意のディスクリートトポロジカルスペース（空間）からの任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である）、そして、本命題は、いかなる

f_{2}

に対しても

f_{2} \circ f_{1}

はコンティニュアス（連続）であることを含意することになる、それは、勿論正しくない。

私たちは、コンティニュアスマップ（写像）たちのあるコンポジション（合成）を、本命題の要件たちが満たされている時（

S_{2}

および

S_{2}^{'}

が同一

T_{2}

のトポロジカルサブスペース（部分空間）たちとみなされ、

S_{2} \subseteq S_{2}^{'}

である時）、"コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの妥当なチェーン"と呼ぶことがある。その理由は、私たち（少なくとも私）は、当該要件たちをチェックし忘れる傾向にあること。

3: 証明

全体戦略:

f_{2} \circ f_{1} (p)

の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f_{2} \circ f_{1} (p)} \subseteq S_{3} \subseteq T_{3}

および

p

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p} \subseteq S_{1} \subseteq T_{1}

、つまり、

f_{2} \circ f_{1} (U_{p}) \subseteq U_{f_{2} \circ f_{1} (p)}

、を取る; ステップ1:

f_{2} \circ f_{1} (p)

の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f_{2} \circ f_{1} (p)} \subseteq S_{3} \subseteq T_{3}

を取る; ステップ2:

f_{1} (p)

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f_{1} (p)}^{'} \subseteq S_{2}^{'} \subseteq T_{2}

、つまり、

f_{2} (U_{f_{1} (p)}^{'}) \subseteq U_{f_{2} \circ f_{1} (p)}

、を取る; ステップ3:

U_{f_{1} (p)} := U_{f_{1} (p)}^{'} \cap S_{2} \subseteq S_{2} \subseteq T_{2}

を取り、それは

f_{1} (p)

の

S_{2}

上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見る; ステップ4:

p

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p} \subseteq S_{1} \subseteq T_{1}

、つまり、

f_{1} (U_{p}) \subseteq U_{f_{1} (p)}

、を取り、

f_{2} \circ f_{1} (U_{p}) \subseteq U_{f_{2} \circ f_{1} (p)}

であることを見る。

ステップ1:

f_{2} \circ f_{1} (p)

の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f_{2} \circ f_{1} (p)} \subseteq S_{3} \subseteq T_{3}

を取ろう。

ステップ2:

f_{2}

は

f_{1} (p)

においてコンティニュアス（連続）であるから、

f_{1} (p)

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{f_{1} (p)}^{'} \subseteq S_{2}^{'} \subseteq T_{2}

、つまり、

f_{2} (U_{f_{1} (p)}^{'}) \subseteq U_{f_{2} \circ f_{1} (p)}

、がある。

ステップ3:

U_{f_{1} (p)} := U_{f_{1} (p)}^{'} \cap S_{2} \subseteq S_{2} \subseteq T_{2}

を取ろう。

U_{f_{1} (p)}

は

f_{1} (p)

の

S_{2}

上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であることを見よう。

U_{f_{1} (p)}^{'}

は

f_{1} (p)

の

S_{2}^{'}

上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であるから、

U_{f_{1} (p)}^{'} = U^{'} \cap S_{2}^{'}

、ここで、

U^{'} \subseteq T_{2}

は

T_{2}

のオープンサブセット（開部分集合）、である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。

U_{f_{1} (p)} = U_{f_{1} (p)}^{'} \cap S_{2} = U^{'} \cap S_{2}^{'} \cap S_{2} = U^{'} \cap S_{2}

、なぜなら、

S_{2} \subseteq S_{2}^{'}

。

それが意味するのは、

U_{f_{1} (p)}

は

S_{2}

のオープンサブセット（開部分集合）であるということ、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。

f_{1} (p) \in U_{f_{1} (p)}

、なぜなら、

f_{1} (p) \in U_{f_{1} (p)}^{'}

および

f_{1} (p) \in \cap S_{2}

である。

したがって、

U_{f_{1} (p)}

は

f_{1} (p)

の

S_{2}

上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。

ステップ4:

f_{1}

は

p

においてコンティニュアス（連続）であるから、

p

の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）

U_{p} \subseteq S_{1} \subseteq T_{1}

、つまり、

f_{1} (U_{p}) \subseteq U_{f_{1} (p)}

、がある。

f_{2} \circ f_{1} (U_{p}) \subseteq f_{2} (U_{f_{1} (p)}) \subseteq f_{2} (U_{f_{1} (p)}^{'}) \subseteq U_{f_{2} \circ f_{1} (p)}

。

参考資料

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2024年11月3日日曜日

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1: 構造化された記述

2: 注

3: 証明

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